Atrisiniet vienādojumus: eksponenciāla izaugsme

Eksponenciālās funkcijas stāsta par sprādzienbīstamām izmaiņām. Divu veidu eksponenciālās funkcijas ir eksponenciāls pieaugums un eksponenciālā sabrukšana. Četri mainīgie - procentu izmaiņas, laiks, summa laika perioda sākumā un summa perioda beigās - spēlē lomas eksponenciālās funkcijās. Šajā rakstā uzmanība tiek pievērsta tam, kā izmantot vārdu problēmas, lai atrastu summu perioda sākumā, a.

Eksponenciāls pieaugums: izmaiņas, kas rodas, ja sākotnējo summu noteiktā laika posmā palielina par nemainīgu likmi

Eksponenciālās izaugsmes pielietojumi reālajā dzīvē:

• Mājas cenu vērtības
• Investīciju vērtības
• Palielināta dalība populārajā sociālo tīklu vietnē

Šeit ir eksponenciāla izaugsmes funkcija:

y = a (1 + b)^x

• y: Galīgā summa, kas paliek noteiktā laika posmā
• a: Sākotnējā summa
• x: Laiks
• augšanas faktors ir (1 + b).
• Mainīgais, b, ir procentuālās izmaiņas procentos aiz komata.

Ja jūs lasāt šo rakstu, tad, iespējams, esat ambiciozs. Pēc sešiem gadiem, iespējams, jūs vēlaties iegūt bakalaura grādu Dream University. Ar 120 000 ASV dolāru cenu zīmi Dream University izsauc finanšu nakts šausmas. Pēc negulētām naktīm jūs, mamma un tētis satiecaties ar finanšu plānotāju. Jūsu vecāku asinsizplūduma acis noskaidrojas, kad plānotājs atklāj ieguldījumu ar 8% pieauguma līmeni, kas var palīdzēt jūsu ģimenei sasniegt mērķi 120 000 USD. Mācieties smagi. Ja jūs un jūsu vecāki šodien ieguldīsit 75 620,36 USD, tad Dream University kļūs par jūsu realitāti.

Šī funkcija apraksta investīciju eksponenciālo pieaugumu:

120,000 = a(1 +.08)⁶

• 120 000: galīgā summa, kas paliek pēc 6 gadiem
• .08: Gada pieauguma temps
• 6: Investīciju pieauguma gadu skaits
• a: Sākotnējā summa, ko jūsu ģimene ir ieguldījusi

Mājiens: Pateicoties vienādības simetriskajam īpašumam, 120 000 = a(1 +.08)⁶ ir tāds pats kā a(1 +.08)⁶ = 120,000. (Simetriskais vienādības īpašums: Ja 10 + 5 = 15, tad 15 = 10 + 5.)

Ja vēlaties vienādojumu pārrakstīt ar konstantu 120 000 vienādojuma labajā pusē, tad dariet to.

a(1 +.08)⁶ = 120,000

Jāatzīst, ka vienādojums neizskatās pēc lineārā vienādojuma (6a = USD 120 000), bet tas ir atrisināms. Pieturies pie tā!

a(1 +.08)⁶ = 120,000

Esiet piesardzīgs: neatrisiniet šo eksponenciālo vienādojumu, dalot 120 000 ar 6. Tā ir vilinoša matemātika nē.

1. Izmantojiet Operāciju secība vienkāršot.

a(1 +.08)⁶ = 120,000
a(1.08)⁶ = 120 000 (iekavas)
a(1,586874323) = 120 000 (eksponents)

2. Atrisiniet, sadalot

a(1.586874323) = 120,000
a(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1a = 75,620.35523
a = 75,620.35523

Sākotnējā ieguldāmā summa ir aptuveni 75 620,36 USD.

3. Iesaldēt - jūs vēl neesat izdarījis. Izmantojiet operāciju secību, lai pārbaudītu atbildi.

120,000 = a(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Iekavas)
120 000 = 75 620,35523 (1,586874323) (eksponents)
120 000 = 120 000 (reizināšana)

Oriģinālā darblapa

Zemnieks un draugi
Izmantojiet informāciju par lauksaimnieka sociālā tīkla vietni, lai atbildētu uz 1. – 5.

Lauksaimnieks izveidoja sociālā tīkla vietni farmerandfriends.org, kurā dalās ar piemājas dārzkopības padomiem. Kad vietne farmerandfriends.org ļāva dalībniekiem izlikt fotoattēlus un videoklipus, vietnes dalībnieku skaits pieauga eksponenciāli. Šī ir funkcija, kas apraksta šo eksponenciālo izaugsmi.

120,000 = a(1 + .40)⁶

1. Cik cilvēku pieder farmerandfriends.org 6 mēnešus pēc tam, kad tas ļāva dalīties ar fotoattēliem un video? 120 000 cilvēku
   Salīdziniet šo funkciju ar sākotnējo eksponenciālā pieauguma funkciju:
   120,000 = a(1 + .40)⁶
   y = a(1 +b)^x
   Sākotnējā summa, y, šajā funkcijā par sociālo tīklu ir 120 000.
2. Vai šī funkcija atspoguļo eksponenciālu augšanu vai samazinājumu? Šī funkcija attēlo eksponenciālu izaugsmi divu iemeslu dēļ. 1. iemesls: informācijas rindkopā atklājas, ka "vietņu skaits pieauga eksponenciāli". 2. iemesls: pozitīva zīme ir tieši pirms tam b, mēneša procentuālās izmaiņas.
3. Kāds ir mēneša procentuālais pieaugums vai samazinājums? Mēneša procentuālais pieaugums ir 40%, .40, kas uzrakstīts procentos.
4. Cik dalībnieku piederēja farmerandfriends.org pirms 6 mēnešiem, tieši pirms foto un video koplietošanas ieviešanas? Apmēram 15 937 biedru
   Izmantojiet operāciju secību, lai vienkāršotu.
   120,000 = a(1.40)⁶
   120,000 = a(7.529536)
   Sadaliet, lai atrisinātu.
   120,000/7.529536 = a(7.529536)/7.529536
   15,937.23704 = 1a
   15,937.23704 = a
   Izmantojiet operāciju secību, lai pārbaudītu atbildi.
   120,000 = 15,937.23704(1 + .40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(1.40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(7.529536)
   120,000 = 120,000
5. Ja šīs tendences turpināsies, cik dalībnieku būs vietnei 12 mēnešus pēc fotoattēlu un video koplietošanas ieviešanas? Aptuveni 903 544 biedri
   Pievienojiet to, ko zināt par funkciju. Atcerieties, ka šoreiz jums ir a, sākotnējā summa. Jūs risināt y, laika perioda beigās atlikusī summa.
   y = a(1 + .40)^x
   y = 15,937.23704(1+.40)¹²
   Izmantojiet operāciju secību, lai atrastu y.
   y = 15,937.23704(1.40)¹²
   y = 15,937.23704(56.69391238)
   y = 903,544.3203