Mēs diezgan agri apgūstam matemātikas karjeru, ka faktoriālais, kas definēti veseliem, kas nav negatīvi n, ir veids, kā aprakstīt atkārtotu reizināšanu. To apzīmē ar izsaukuma zīmes izmantošanu. Piemēram:
Vienīgais izņēmums šai definīcijai ir nulle koeficienta, kur 0! = 1. Raugoties uz šīm koeficienta vērtībām, mēs varētu izveidot pāri n ar n!. Tas mums dotu punktus (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720) utt. ieslēgts
Gamma funkcijas definīcija ir ļoti sarežģīta. Tas ietver sarežģītu izskatu, kas izskatās ļoti dīvaini. Gama funkcija tās definīcijā izmanto dažus aprēķinus, kā arī numuru e Atšķirībā no vairāk pazīstamām funkcijām, piemēram, polinomiem vai trigonometriskām funkcijām, gamma funkcija tiek definēta kā citas funkcijas nepareiza integrācija.
Gamma funkcijas definīciju var izmantot, lai demonstrētu vairākas identitātes. Viens no vissvarīgākajiem no tiem ir tas, ka Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). Mēs to varam izmantot, un to, ka Γ (1) = 1 no tiešā aprēķina:
Bet gamma funkcijā mums nav jāievada tikai veseli skaitļi. Jebkurš sarežģīts skaitlis, kas nav negatīvs vesels skaitlis, ir gamma funkcijas domēnā. Tas nozīmē, ka koeficientu var attiecināt arī uz skaitļiem, kas nav negatīvi veseli skaitļi. Starp šīm vērtībām viens no vispazīstamākajiem (un pārsteidzošajiem) rezultātiem ir tas, ka Γ (1/2) = √π.
Vēl viens rezultāts, kas ir līdzīgs pēdējam, ir tāds, ka Γ (1/2) = -2π. Patiešām, gamma funkcija vienmēr rada pi kvadrātsaknes daudzkārtnes izvadi, kad funkcijā tiek ievadīts nepāra reizinājums 1/2.
Gamma funkcija parādās daudzās, šķietami nesaistītās, matemātikas jomās. Jo īpaši gamma funkcijas nodrošinātā koeficienta vispārinājums ir noderīgs dažās kombinatorikas un varbūtības problēmās. Daži varbūtības sadalījumi ir definēti tieši gamma funkcijas izteiksmē. Piemēram, gamma sadalījums ir noteikts gamma funkcijas izteiksmē. Šo sadalījumu var izmantot, lai modelētu laika intervālu starp zemestrīcēm. Studentu t sadaljums, ko var izmantot datiem, kur mums nav zināma populācijas standarta novirze, un chi-kvadrāta sadalījums ir definēts arī gamma funkcijas izteiksmē.