3 vai vairāk komplektu savienības varbūtība

Kad ir divi notikumi savstarpēji izslēdzoši, to iespējamība savienība var aprēķināt ar pievienošanas noteikums. Mēs zinām, ka, velkot leņķi, numura, kas lielāks par četriem, vai skaitļa, kas mazāks par trim, ripināšana ir savstarpēji izslēdzoši notikumi, kuriem nav nekā kopīga. Tātad, lai atrastu šī notikuma varbūtību, mēs vienkārši pievienojam varbūtību, ka mēs apzīmējam skaitli, kas lielāks par četriem, varbūtībai, ka mēs apzīmējam skaitli, kas mazāks par trim. Simbolos mums ir šāds, kur galvaspilsēta Lpp apzīmē “varbūtību”:

Lpp(vairāk nekā četri vai mazāk nekā trīs) = Lpp(lielāks par četriem) + Lpp(mazāk nekā trīs) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Ja notikumi ir nē savstarpēji izslēdzot, tad mēs ne tikai saskaitām notikumu varbūtības kopā, bet mums ir jāatskaita krustojums no notikumiem. Ņemot vērā notikumus A un B:

Lpp(A U B) = Lpp(A) + Lpp(B) - Lpp(A ∩ B).

Šeit mēs uzskatām iespēju divkārši uzskaitīt tos elementus, kas ir abos A un B, un tāpēc mēs atņemam krustojuma varbūtību.

Jautājums, kas no tā izriet, ir šāds: “Kāpēc apstāties ar diviem komplektiem? Kāda ir varbūtība, ka apvienosies vairāk nekā divi komplekti? ”

Mēs izvērsīsim iepriekš minētās idejas situācijā, kad mums ir trīs kopas, kuras mēs apzīmēsim A, B, un C. Mēs neko vairāk par šo neuzņemsimies, tāpēc pastāv iespēja, ka komplektiem ir tukšs krustojums. Mērķis būs aprēķināt varbūtība no šo trīs kopu savienības, vai Lpp (A U B U C).

Iepriekš minētā diskusija par diviem komplektiem joprojām pastāv. Mēs varam saskaitīt atsevišķo kopu varbūtības A, B, un C, bet, to darot, mēs esam divreiz ieskaitījuši dažus elementus.

Elementi, kas atrodas A un B tika uzskaitīti divreiz, tāpat kā iepriekš, bet tagad ir arī citi elementi, kas, iespējams, ir ieskaitīti divreiz. Elementi, kas atrodas A un C un B un C tagad arī ir ieskaitīti divreiz. Tātad varbūtības no šiem krustojumiem arī ir jāatskaita.

Bet vai mēs esam atņēmuši par daudz? Ir kaut kas jauns, kas jāņem vērā, ka mums nevajadzēja uztraukties, kad bija tikai divi komplekti. Tāpat kā jebkuriem diviem komplektiem var būt krustojums, arī visiem trim komplektiem var būt krustojums. Cenšoties pārliecināties, ka mēs kaut ko divkārši nerēķinājāmies, mēs neesam saskaitījuši tos elementus, kas parādās visos trīs setos. Tātad visu trīs kopu krustošanās varbūtība jāpievieno atpakaļ.

Šeit ir formula, kas iegūta no iepriekšminētās diskusijas:

Lpp (A U B U C) = Lpp(A) + Lpp(B) + Lpp(C) - Lpp(A ∩ B) - Lpp(A ∩ C) - Lpp(B ∩ C) + Lpp(A ∩ B ∩ C)

Lai redzētu trīs setu savienības varbūtības formulu, pieņemsim, ka mēs spēlējam galda spēli, kurā ir iesaistīts divu kauliņu ripināšana. Sakarā ar spēles noteikumiem mums ir jāsaņem vismaz viens no izciļņiem, lai būtu divi, trīs vai četri, lai uzvarētu. Kāda ir tā iespējamība? Mēs atzīmējam, ka mēs cenšamies aprēķināt trīs notikumu savienības varbūtību: velmējot vismaz vienu divus, velmējot vismaz vienu trīs, velmējot vismaz vienu četrus. Tātad mēs varam izmantot iepriekšminēto formulu ar šādām varbūtībām:

• Divu ripošanas varbūtība ir 11/36. Skaitītājs šeit nāk no fakta, ka ir seši iznākumi, kad pirmais mirst ir divi, seši, kur otrais mirst ir divi, un viens iznākums, ja abi kauliņi ir divnieki. Tas dod mums 6 + 6 - 1 = 11.
• Trīs brauciena varbūtība ir 11/36 tā paša iemesla dēļ kā iepriekš.
• Četras ripināšanas varbūtība ir 11/36 tā paša iemesla dēļ kā iepriekš.
• Divu un triju ripināšanas varbūtība ir 2/36. Šeit mēs varam vienkārši uzskaitīt iespējas, abas varētu nākt pirmās vai arī nākt otrajā.
• Divu un četru ripināšanas varbūtība ir 2/36 tā paša iemesla dēļ, ka divu un triju varbūtība ir 2/36.
• Divu, trīs un četru ripināšanas varbūtība ir 0, jo mēs ripojam tikai divus kauliņus un nav iespējas iegūt trīs skaitļus ar diviem kauliņiem.

Tagad mēs izmantojam formulu un redzam, ka varbūtība iegūt vismaz divus, trīs vai četrus ir

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Iemesls, kāpēc četru kopu savienības varbūtības formulai ir šāda forma, ir līdzīgs trīs kopu formulas pamatojumam. Palielinoties komplektu skaitam, palielinās arī pāru, trīskāršu un tā tālāk skaits. Ar četrām kopām ir seši krustojumi, kas ir sadalīti pa pāriem, un tie ir jāatskaita, četri trīskāršie krustojumi, lai pievienotu atpakaļ, un tagad ir četrkāršs krustojums, kas jāatskaita. Doti četri komplekti A, B, C un D, šo kopu savienības formula ir šāda:

Lpp (A U B U C U D) = Lpp(A) + Lpp(B) + Lpp(C) +Lpp(D) - Lpp(A ∩ B) - Lpp(A ∩ C) - Lpp(A ∩ D)- Lpp(B ∩ C) - Lpp(B ∩ D) - Lpp(C ∩ D) + Lpp(A ∩ B ∩ C) + Lpp(A ∩ B ∩ D) + Lpp(A ∩ C ∩ D) + Lpp(B ∩ C ∩ D) - Lpp(A ∩ B ∩ C ∩ D).

Varētu uzrakstīt formulas (kas izskatās pat skarbāk nekā iepriekš), lai noteiktu vairāk nekā četru kopu apvienojuma varbūtību, taču, izpētot iepriekšminētās formulas, mums vajadzētu pamanīt dažus modeļus. Šos modeļus izmanto, lai aprēķinātu vairāk nekā četru kopu savienības. Neierobežota skaita komplektu apvienošanās varbūtību var atrast šādi:

1. Pievienojiet atsevišķu notikumu varbūtības.
2. Atņemiet krustojumu varbūtības no katra notikumu pāra.
3. Pievienojiet katras trīs notikumu kopas krustošanās varbūtības.
4. Atņem katra četru notikumu kopuma krustošanās varbūtības.
5. Turpiniet šo procesu, līdz pēdējā varbūtība ir varbūtība, ka krustojas kopējais kopu skaits, ar kuru mēs sākām.