Kā statistikā izmantot papildnoteikumu

Statistikā papildinājuma noteikums ir teorēma, kas nodrošina savienojumu starp varbūtību notikums un notikuma komplementācijas varbūtību tādā veidā, ka, ja mēs zinām vienu no šīm varbūtībām, tad mēs automātiski zinām otru.

Papildinājuma noteikums ir noderīgs, kad mēs aprēķinām noteiktas varbūtības. Daudzkārt notikuma varbūtība ir nekārtīga vai sarežģīti aprēķināma, turpretim tā komplementācijas varbūtība ir daudz vienkāršāka.

Pirms mēs redzam, kā tiek izmantots papildinājuma noteikums, mēs precīzi definēsim, kas ir šis noteikums. Mēs sākam ar nelielu notāciju. Pasākuma papildinājums A, kas sastāv no visiem elementiem parauga telpaS kas nav komplekta elementi A, tiek apzīmēts ar AC.

Komplementa noteikumu izsaka kā "notikuma varbūtības un tā komplementācijas varbūtības summu, kas vienāda ar 1", ko izsaka ar šādu vienādojumu:

P (A^C) = 1 - P (A)

Šis piemērs parādīs, kā izmantot papildinājuma kārtulu. Kļūs redzams, ka šī teorēma gan paātrinās, gan vienkāršos varbūtības aprēķinus.

Pieņemsim, ka mēs saliekam astoņas godīgas monētas - kāda ir varbūtība, ka mums vismaz viena galva rāda? Viens veids, kā to noskaidrot, ir aprēķināt šādas varbūtības. Katra saucējs ir izskaidrojams ar to, ka ir 2⁸ = 256 rezultāti, katrs no tiem ir vienlīdz ticams. Mums visiem sekojošā formula ir: kombinācijas:

• Varbūt precīzi apgriezt vienu galvu ir C (8,1) / 256 = 8/256.
• Tieši divu galvu pagriešanas varbūtība ir C (8,2) / 256 = 28/256.
• Tieši trīs galvu pagriešanas varbūtība ir C (8,3) / 256 = 56/256.
• Tieši četru galvu pagriešanas varbūtība ir C (8,4) / 256 = 70/256.
• Precīzi piecu galvu pagriešanas varbūtība ir C (8,5) / 256 = 56/256.
• Varbūtība precīzi pārlaist sešas galvas ir C (8,6) / 256 = 28/256.
• Tieši septiņu galvu pagriešanas varbūtība ir C (8,7) / 256 = 8/256.
• Tieši astoņu galvu pagriešanas varbūtība ir C (8,8) / 256 = 1/256.

Šie ir savstarpēji izslēdzoši notikumus, tāpēc varbūtības tiek summētas, izmantojot vienu atbilstošo pievienošanas noteikums. Tas nozīmē, ka varbūtība, ka mums ir vismaz viena galva, ir 255 no 256.

Tagad mēs aprēķinām to pašu varbūtību, izmantojot papildinājuma likumu. Pasākuma “Mēs atliekam vismaz vienu galvu” papildinājums ir pasākums “Nav galvas.” Ir viens veids, kā tas notiek, dodot 1/256 varbūtību. Mēs izmantojam komplementa likumu un secinām, ka mūsu vēlamā varbūtība ir viena mīnus viena no 256, kas ir vienāda ar 255 no 256.

Šis piemērs parāda ne tikai papildinājuma noteikuma lietderību, bet arī spēku. Lai gan mūsu sākotnējā aprēķinā nav nekā slikta, tas bija diezgan iesaistīts un prasīja vairākus soļus. Turpretī, kad šai problēmai izmantojām papildinājuma noteikumu, nebija tik daudz soļu, kur aprēķini varētu novirzīties.