Kā aprēķināt koeficientu Powerball

Powerbols ir daudzpakāpju loterija tas ir diezgan populārs, pateicoties tā multimiljonu dolāru džekpotiem. Daži no šiem džekpotiem sasniedz vērtības, kas pārsniedz 100 miljonus USD. Interesants kvestu jons no a varbūtība jēga ir: “Kā ir izredzes aprēķināts pēc iespējamības uzvarot Spēlētājs? ”

Vispirms mēs pārbaudīsim Powerball noteikumus, kādi tie šobrīd ir konfigurēti. Katras zīmēšanas laikā divas bumbas, kas pilnas ar bumbiņu, tiek rūpīgi sajauktas un randomizētas. Pirmajā mucā ir baltas bumbiņas, kas numurētas no 1 līdz 59. Pieci ir uzzīmēti bez nomaiņas no šī bungas. Otrajā bungā ir sarkanas bumbiņas, kuras numurētas no 1 līdz 35. Viens no tiem ir uzzīmēts. Mērķis ir saskaņot pēc iespējas vairāk no šiem skaitļiem.

Pilns džekpots tiek uzvarēts, kad visi seši spēlētāja izvēlētie skaitļi lieliski sakrīt ar izvilktajām bumbiņām. Ir balvas ar mazākām vērtībām par daļēju saskaņošanu, kopumā par deviņiem dažādiem veidiem, kā laimēt kādu dolāru no Powerball. Šie laimestu veidi ir:

• Sakārtojot visas piecas baltās bumbiņas un sarkano bumbiņu, tiek uzvarēts lielās balvas džekpots. Tās vērtība mainās atkarībā no tā, cik ilgs laiks pagājis kopš kāds ir ieguvis šo galveno balvu.
• Sakritot visām piecām baltajām bumbiņām, bet ne sarkanai bumbiņai, iegūst USD 1 000 000.
• Precīzi sakrājot četras no piecām baltajām bumbiņām un sarkano bumbiņu, iegūst 10 000 USD.
• Sakritot precīzi četrām no piecām baltajām bumbiņām, bet ne sarkanai bumbiņai, iegūst 100 USD.
• Precīzi sakrājot trīs no piecām baltajām bumbiņām un sarkano bumbiņu, iegūst 100 USD.
• Sakritot precīzi trim no piecām baltajām bumbiņām, bet ne sarkanai bumbiņai, iegūst 7 USD.
• Sakritot precīzi divām no piecām baltajām bumbiņām un sarkanai bumbiņai, iegūst 7 USD.
• Precīzi sakrājot vienu no piecām baltajām bumbiņām un sarkano bumbiņu, iegūst 4 USD.
• Sakritot tikai sarkanai bumbiņai, bet neviena no baltajām bumbiņām neiegūst 4 USD.

Mēs apskatīsim, kā aprēķināt katru no šīm varbūtībām. Šajos aprēķinos ir svarīgi atzīmēt, ka nav svarīgi secībai, kā bumbiņas iznāk no bungas. Vienīgais, kas ir svarīgs, ir sastādīto bumbiņu komplekts. Šī iemesla dēļ mūsu aprēķini ir saistīti kombinācijas un nevis permutācijas.

Katrā turpmāk sniegtajā aprēķinā ir noderīgs arī kopējais kombināciju skaits, ko var novilkt. Mēs esam izvēlējušies piecas no 59 baltajām bumbiņām vai, izmantojot kombināciju apzīmējumus, C (59, 5) = 5 006 386 veidi, kā tas notiek. Sarkano bumbiņu var atlasīt 35 veidos, kā rezultātā tiek atlasīti 35 x 5 006 386 = 175 223 510.

Lai arī visgrūtāk iegūt džekpotu, kas pielīdzina visas sešas bumbiņas, ir visvieglāk aprēķināt. No daudzajām 175 223 510 iespējamām atlasēm tieši viens veids ir laimēt džekpotu. Tādējādi varbūtība, ka konkrētā biļete uzvar džekpotu, ir 1 / 175,223,510.

Lai iegūtu 1 000 000 USD, mums jāsaskaņo piecas baltas bumbiņas, bet ne sarkanā bumba. Ir tikai viens veids, kā saskaņot visus piecus. Ir 34 veidi, kā neatbilst sarkanai bumbiņai. Tātad varbūtība laimēt 1 000 000 USD ir 34/175 223 510 jeb aptuveni 1/5 153 633.

Lai saņemtu balvu USD 10 000 vērtībā, mums jāsaskaņo četras no piecām baltajām bumbiņām un sarkanā bumba. Ir C (5,4) = 5 veidi, kā saskaņot četrus no pieciem. Piektajai bumbiņai jābūt vienai no atlikušajām 54, kuras netika uzvilktas, un tāpēc ir C (54, 1) = 54 veidi, kā tas notiek. Ir tikai viens veids, kā saskaņot sarkano bumbiņu. Tas nozīmē, ka ir 5 x 54 x 1 = 270 veidi, kā precīzi saskaņot četras un sarkanās baltas bumbiņas, dodot varbūtību 270 / 175,223,510 vai aptuveni 1 / 648,976.

Viens veids, kā laimēt balvu 100 ASV dolāru vērtībā, ir sakrāt četras no piecām baltajām bumbiņām un nesakrist ar sarkano. Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, ir C (5,4) = 5 veidi, kā saskaņot četrus no pieciem. Piektajai bumbiņai jābūt vienai no atlikušajām 54, kuras netika uzvilktas, un tāpēc ir C (54, 1) = 54 veidi, kā tas notiek. Šoreiz ir 34 veidi, kā nesaskaņot sarkano bumbiņu. Tas nozīmē, ka ir 5 x 54 x 34 = 9180 veidi, kā precīzi saskaņot četras baltas bumbiņas, bet ne sarkano -, kas dod varbūtību 9180 / 175,223,510 vai aptuveni 1 / 19,088.

Vēl viens veids, kā laimēt balvu 100 ASV dolāru vērtībā, ir precīzi saskaņot trīs no piecām baltajām bumbiņām un arī sakrāt ar sarkano. Ir C (5,3) = 10 veidi, kā saskaņot trīs no pieciem. Atlikušajām baltajām bumbiņām jābūt vienai no atlikušajām 54, kuras netika uzzīmētas, un tāpēc ir C (54, 2) = 1431 veidi, kā tas notiek. Ir viens veids, kā saskaņot sarkano bumbiņu. Tas nozīmē, ka ir 10 x 1431 x 1 = 14,310 veidi, kā precīzi saskaņot trīs baltas un sarkanās bumbiņas, dodot varbūtību 14,310 / 175,223,510 vai aptuveni 1 / 12,245.

Viens veids, kā laimēt balvu 7 ASV dolāru vērtībā, ir precīzi atbilst trim no piecām baltajām bumbiņām un neatbilst sarkanajai. Ir C (5,3) = 10 veidi, kā saskaņot trīs no pieciem. Atlikušajām baltajām bumbiņām jābūt vienai no atlikušajām 54, kuras netika uzzīmētas, un tāpēc ir C (54, 2) = 1431 veidi, kā tas notiek. Šoreiz ir 34 veidi, kā nesaskaņot sarkano bumbiņu. Tas nozīmē, ka ir 10 x 1431 x 34 = 486 540 veidi, kā precīzi saskaņot trīs baltas bumbiņas, bet ne sarkano -, kas dod 486 540/175 223 510 vai aptuveni 1/360 varbūtību.

Vēl viens veids, kā laimēt balvu 7 ASV dolāru vērtībā, ir precīzi atbilst divām no piecām baltajām bumbiņām un arī sarkanajai. Ir C (5,2) = 10 veidi, kā saskaņot divus no pieciem. Atlikušajām baltajām bumbiņām jābūt vienai no atlikušajām 54, kuras netika uzzīmētas, un tāpēc tam ir C (54, 3) = 24 804 veidi. Ir viens veids, kā saskaņot sarkano bumbiņu. Tas nozīmē, ka ir 10 x 24 804 x 1 = 248 040 veidi, kā precīzi saskaņot divas baltas un sarkanās bumbiņas, dodot varbūtību 248 040/175 223 510 vai aptuveni 1/706.

Viens veids, kā iegūt balvu USD 4, ir precīzi atbilst vienai no piecām baltajām bumbiņām un arī sarkanajai. Ir C (5,4) = 5 veidi, kā saskaņot vienu no pieciem. Atlikušajām baltajām bumbiņām jābūt vienai no atlikušajām 54, kuras netika uzvilktas, un tāpēc ir C (54, 4) = 316 251 veidi, kā tas notiek. Ir viens veids, kā saskaņot sarkano bumbiņu. Tas nozīmē, ka ir 5 x 316 251 x1 = 1 581 255 veidi, kā precīzi saskaņot vienu un sarkano balto bumbiņu, dodot varbūtību 1 581 255/175 223 510 vai aptuveni 1/111.

Vēl viens veids, kā laimēt balvu 4 ASV dolāru vērtībā, ir sakrāt nevienu no piecām baltajām bumbiņām, bet sakrāt ar sarkano. Ir 54 bumbiņas, kas nav neviena no piecām atlasītajām, un mums ir C (54, 5) = 3 162 510 veidi, kā tas notiek. Ir viens veids, kā saskaņot sarkano bumbiņu. Tas nozīmē, ka ir 3 162 510 veidi, kā saskaņot nevienu no bumbiņām, izņemot sarkano, nodrošinot varbūtību 3 162 510/175 223 510 vai aptuveni 1/55.

Šis gadījums ir nedaudz pretintuitīvs. Ir 36 sarkanās bumbiņas, tāpēc mēs varam domāt, ka varbūtība, ka tiks pielietota kāda no tām, būtu 1/36. Tomēr tas novārtā atstāj citus nosacījumus, kurus uzliek baltās bumbiņas. Daudzās kombinācijās ar pareizu sarkano bumbiņu ietilpst arī sērkociņi ar dažām baltajām bumbiņām.