Nosacītā varbūtība: notācija un piemēri

Tiešs piemērs nosacīts varbūtība ir varbūtība, ka karte, kas izvilkta no standarta kāršu klāja, ir karalis. Kopā no 52 kartēm ir četri karaļi, un tāpēc varbūtība ir vienkārši 4/52. Ar šo aprēķinu saistīts šāds jautājums: "Cik liela ir varbūtība, ka mēs piesaistīsim karali, ņemot vērā to mēs jau esam izvilkuši karti no klāja, un tas ir dūzis? "Šeit mēs uzskatām, ka klāja saturs ir kartes. Joprojām ir četri karaļi, bet tagad klājā ir tikai 51 kārtis. Valdnieka uzzīmēšanas varbūtība, ņemot vērā, ka jau ir uzzīmēts dūzis, ir 4/51.

Nosacītā varbūtība ir definēta kā notikuma varbūtība, ņemot vērā, ka ir noticis cits notikums. Ja mēs nosauksim šos notikumus A un B, tad mēs varam runāt par varbūtību A dots B. Mēs varētu atsaukties arī uz varbūtību A atkarīgs B.

Apzīmējums nosacītajai varbūtībai dažādās mācību grāmatās atšķiras. Visos apzīmējumos ir norāde, ka varbūtība, uz kuru mēs atsaucamies, ir atkarīga no cita notikuma. Viens no visizplatītākajiem notifikācijas varbūtības apzīmējumiem A dots B ir P (A | B). Vēl viens apzīmējums, kas tiek izmantots, ir Lpp_B(A).

Pastāv nosacītas varbūtības formula, kas to savieno ar varbūtību A un B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Būtībā šī formula saka, ka, lai aprēķinātu notikuma nosacīto varbūtību A ņemot vērā notikumu B, mēs mainām mūsu parauga vietu, lai tā sastāv tikai no kopas B. To darot, mēs neapsveram visu notikumu A, bet tikai tā daļa A kas arī ir ietverts B. Komplektu, ko mēs tikko aprakstījām, var vairāk identificēt kā krustojums no A un B.

Mēs varam izmantot algebra izteikt iepriekšminēto formulu atšķirīgā veidā:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Ņemot vērā šo informāciju, mēs atkārtoti apskatīsim piemēru, ar kuru sākām. Mēs vēlamies uzzināt karaļa uzzīmēšanas varbūtību, ņemot vērā, ka jau ir uzvilkts dūzis. Tādējādi notikums A ir tas, ka mēs zīmējam karali. Pasākums B ir tas, ka mēs zīmējam dūzīti.

Varbūtība, ka notiek abi notikumi, un mēs uzvelkam dūzīti un pēc tam karalis atbilst P (A ∩ B). Šīs varbūtības vērtība ir 12/2652. Notikuma varbūtība B, tas, ka mēs uzvelkam dūzīti, ir 4/52. Tādējādi mēs izmantojam nosacītās varbūtības formulu un redzam, ka varbūtība uzzīmēt ķēniņu, kas dots, nekā dūzis, ir (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Citā piemērā mēs apskatīsim varbūtības eksperimentu tur, kur mēs sarullē divus kauliņus. Jautājums, ko mēs varētu uzdot, ir šāds: “Cik liela ir varbūtība, ka mēs esam izlozējuši trīs, ņemot vērā, ka mēs esam izlozējuši summu, kas mazāka par sešām?”

Šeit pasākums A ir tas, ka mēs esam izveidojuši trīs un notikumu B ir tas, ka mēs esam aprēķinājuši summu, kas mazāka par sešām. Pavisam ir 36 veidi, kā ripināt divus kauliņus. No šiem 36 veidiem mēs varam aprēķināt summu, kas ir mazāka par sešām desmit veidos:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Dažos gadījumos nosacītā varbūtība ir A ņemot vērā notikumu B ir vienāds ar A. Šajā situācijā mēs sakām, ka notikumi A un B ir neatkarīgi viens no otra. Iepriekš minētā formula ir šāda:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

un mēs atgūstam formulu, ka neatkarīgiem notikumiem ir abu varbūtība A un B tiek iegūts, reizinot katra no šiem notikumiem varbūtības:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Ja divi notikumi ir neatkarīgi, tas nozīmē, ka viens notikums neietekmē otru. Vienas monētas, pēc tam citas, uzspiešana ir neatkarīgu notikumu piemērs. Vienas monētas uzspiešana neietekmē otru.

Esiet ļoti uzmanīgs, lai noteiktu, kurš notikums ir atkarīgs no otra. Vispār P (A | B) nav vienāds ar P (B | A). Tāda ir varbūtība A ņemot vērā notikumu B nav tas pats, kas B ņemot vērā notikumu A.

Iepriekš minētajā piemērā mēs redzējām, ka, ripinot divus kauliņus, trijnieka ripināšanas varbūtība, ņemot vērā, ka mēs esam ripinājuši summu, kas mazāka par sešām, bija 4/10. No otras puses, kāda ir varbūtība, ka summa tiks aprēķināta mazāk par sešām, ņemot vērā, ka mēs esam izlozējuši trīs? Varbūtība, ka slīd trīs un summa, kas mazāka par sešām, ir 4/36. Vismaz viena trīs ripošanas varbūtība ir 11/36. Tātad nosacītā varbūtība šajā gadījumā ir (4/36) / (11/36) = 4/11.