Binomu sadalījuma momenta ģenerēšanas funkcija

Nejauša mainīgā lieluma vidējā un dispersija X ar binomālās varbūtības sadalījums var būt grūti tieši aprēķināt. Lai gan var būt skaidrs, kas jādara, izmantojot definīciju paredzamā vērtība no X un X², šo darbību faktiskā izpilde ir viltīga algebras un summēšanas žonglēšana. Alternatīvs veids vidējās vērtības un dispersijas noteikšanai a divdomīgais sadalījums ir izmantot momentu ģenerējošā funkcija priekš X.

Sāciet ar izlases mainīgo X un aprakstiet varbūtības sadalījums konkrētāk. Veiciet n neatkarīgi Bernoulli izmēģinājumi, no kuriem katram ir veiksmes varbūtība lpp un neveiksmes varbūtība 1 - lpp. Tādējādi varbūtības masas funkcija ir

f (x) = C(n, x)lpp^x(1 – lpp)^{n - x}

Šeit termins C(n, x) apzīmē kombināciju skaitu n ņemti elementi x vienlaikus un x var ņemt vērtības 0, 1, 2, 3,..., n.

Izmantojiet šo varbūtības masas funkciju, lai iegūtu momenta ģenerēšanas funkciju X:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿe^txC(n,x)>)lpp^x(1 – lpp)^{n - x}.

Kļūst skaidrs, ka jūs varat apvienot terminus ar eksponentu x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (pe^t)^xC(n,x)>)(1 – lpp)^{n - x}.

Turklāt, izmantojot binominālo formulu, šī izteiksme ir vienkārši:

M(t) = [(1 – lpp) + pe^t]ⁿ.

Lai atrastu nozīmē un dispersija, jums būs jāzina abi M”(0) un M’’(0). Sāciet aprēķināt savus atvasinājumus un pēc tam novērtējiet katru no tiem t = 0.

Jūs redzēsit, ka mirkļu ģenerēšanas funkcijas pirmais atvasinājums ir:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – lpp) + pe^t]^{n - 1}.

No tā jūs varat aprēķināt varbūtības sadalījuma vidējo lielumu. M(0) = n(pe⁰)[(1 – lpp) + pe⁰]^{n - 1} = np. Tas atbilst izteicienam, ko mēs tieši ieguvām no vidējā lieluma definīcijas.

Dispersijas aprēķināšana tiek veikta līdzīgi. Vispirms atkal diferencējiet momentu ģenerējošo funkciju, un tad mēs novērtējam šo atvasinājumu pie t = 0. Šeit jūs to redzēsit

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – lpp) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – lpp) + pe^t]^{n - 1}.

Lai aprēķinātu šī nejaušā mainīgā dispersiju, kas jums jāatrod M’’(t). Šeit jums ir M’’(0) = n(n - 1)lpp² +np. Dispersija σ² no jūsu izplatīšanas ir

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)lpp² +np - (np)² = np(1 - lpp).

Lai arī šī metode ir nedaudz iesaistīta, tā nav tik sarežģīta kā vidējā lieluma un dispersijas aprēķināšana tieši no varbūtības masas funkcijas.