Kas ir Sanktpēterburgas paradokss?

Jūs atrodaties Sanktpēterburgas ielās, Krievijā, un vecs vīrietis ierosina šādu spēli. Viņš aizmet monētu (un aizņemsies vienu no jums, ja neuzticēsities, ka viņa valoda ir godīga). Ja tas nokrīt astes augšup, jūs zaudējat un spēle ir beigusies. Ja monēta nokrīt ar galvu uz augšu, tad jūs laimējat vienu rubli un spēle turpinās. Monēta atkal tiek izmesta. Ja tas ir astes, tad spēle beidzas. Ja tas ir galvas, tad jūs laimēsit papildu divus rubļus. Spēle turpinās šādā veidā. Par katru nākamo galvu mēs divkāršojam laimestu no iepriekšējās kārtas, bet pie pirmās astes zīmes spēle tiek veikta.

Cik jūs maksātu, lai spēlētu šo spēli? Apsverot paredzamā vērtība Šīs spēles laikā jums vajadzētu lēkt pie izdevības neatkarīgi no tā, cik maksājat spēlē. Tomēr, ņemot vērā iepriekš aprakstīto, jūs, iespējams, nebūtu gatavs maksāt daudz. Galu galā pastāv 50% varbūtība neko neuzvarēt. Tas ir tas, kas ir pazīstams kā Sanktpēterburgas paradokss, kas nosaukts sakarā ar Daniela Bernoulli 1738. gada publikāciju Sanktpēterburgas Imperatoriskās zinātņu akadēmijas komentāri.

Sāksim ar aprēķināšanu varbūtības kas saistīti ar šo spēli. Varbūtība, ka taisnīga monēta nokrīt, ir 1/2. Katra monētas mešana ir neatkarīgs notikums, tāpēc varbūtības reizinām, iespējams, izmantojot a koku diagramma.

• Divu galvu pēc kārtas varbūtība ir (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Triju galvu pēc kārtas varbūtība ir (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Izteikt varbūtību n galvas pēc kārtas, kur n ir vesels pozitīvs skaitlis, kuru mēs izmantojam eksponentiem, lai uzrakstītu 1/2ⁿ.

Tagad pāriesim tālāk un redzēsim, vai varam vispārināt, kādi laimesti būtu katrā kārtā.

• Ja jums ir galva pirmajā kārtā, jūs uzvarējat par vienu rubli par šo kārtu.
• Ja otrajā kārtā ir galva, tad šajā kārtā laimēsi divus rubļus.
• Ja trešajā kārtā ir galva, tad šajā kārtā laimē četrus rubļus.
• Ja jums ir paveicies, lai to izdarītu visu līdz n^th kārta, tad jūs uzvarēsit 2^n-1 rubļu tajā kārtā.

Paredzamā spēles vērtība parāda, kāds būtu vidējais laimests, ja spēlētu spēli daudzas, daudzas reizes. Lai aprēķinātu paredzamo vērtību, mēs reizinām katras kārtas laimesta vērtību ar varbūtību nokļūt šajā kārtā, un tad visus šos produktus pievienojam kopā.

• Sākot no pirmās kārtas, jums ir 1/2 varbūtība un 1 rubļa laimests: 1/2 x 1 = 1/2
• Sākot no otrās kārtas, jums ir varbūtība 1/4 un laimests ir 2 rubļi: 1/4 x 2 = 1/2
• Sākot no pirmās kārtas, jums ir varbūtība 1/8 un laimests ir 4 rubļi: 1/8 x 4 = 1/2
• Sākot no pirmās kārtas, jums ir varbūtība 1/16 un laimests ir 8 rubļi: 1/16 x 8 = 1/2
• Sākot no pirmās kārtas, jums ir varbūtība 1/2ⁿ un laimesti 2^n-1 rubļi: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Katras kārtas vērtība ir 1/2, un, pievienojot rezultātus no pirmās n kārtas kopā mums dod gaidāmo vērtību n/ 2 rubļi. Kopš n var būt jebkurš pozitīvs vesels skaitlis, paredzamā vērtība ir neierobežota.

Tātad, kas jums būtu jāmaksā, lai spēlētu? Rublis, tūkstoš rubļu vai pat a miljardu rubļi ilgtermiņā būtu mazāki par paredzēto vērtību. Neskatoties uz iepriekšminēto aprēķinu, kas sola neizsakāmo bagātību, mēs visi joprojām negribētu maksāt ļoti daudz, lai spēlētu.

Paradoksu var atrisināt daudzos veidos. Viens no vienkāršākajiem veidiem ir tāds, ka neviens nepiedāvātu tādu spēli kā iepriekš aprakstītā. Nevienam nav bezgalīgu resursu, kas būtu nepieciešami, lai samaksātu kādam, kurš turpināja kraustīt galvas.

Cits veids, kā atrisināt paradoksu, ir norādīšana, cik neiespējami ir iegūt kaut ko līdzīgu 20 galvām pēc kārtas. izredzes par šo notikumu ir labāk nekā uzvarēt lielākajā daļā štatu loterijas. Cilvēki šādas loterijas regulāri spēlē par pieciem dolāriem vai mazāk. Tātad Sanktpēterburgas spēles spēlēšanas cena, iespējams, nedrīkst pārsniegt dažus dolārus.

Ja cilvēks iekšā Sanktpēterburga saka, ka viņa spēles spēlēšana maksās neko vairāk kā dažus rubļus, jums vajadzētu pieklājīgi atteikties un iet prom. Rubļi vienalga nav daudz vērts.