Jahtzes ripināšanas varbūtība

Yahtzee ir kauliņu spēle, kas apvieno iespēju un stratēģiju. Spēlētājs sāk savu kārtu, ripinot piecus kauliņus. Pēc šī ritējuma spēlētājs var izlemt pārlocīt jebkuru kauliņu skaitu. Katrā pagriezienā kopā ir trīs ruļļi. Pēc šiem trim ruļļiem kauliņu rezultātu ievada rezultātu lapā. Šajā rezultātu lapā ir dažādas kategorijas, piemēram, a pilna māja vai liels taisns. Katru no kategorijām apmierina dažādas kauliņu kombinācijas.

Visgrūtāk aizpildāmā kategorija ir Yahtzee. Yahtzee notiek, kad spēlētājs izlaiž piecus no viena un tā paša numura. Cik maz ticams, ka Yahtzee ir? Šī ir problēma, kas ir daudz sarežģītāka nekā varbūtību atrašana divi vai pat trīs kauliņi. Galvenais iemesls ir tas, ka ir trīs veidi, kā iegūt trīs piecus atbilstošus kauliņus trīs ruļļu laikā.

Yahtzee ripināšanas varbūtību var aprēķināt, izmantojot kombinācijas kombinatorikas formulu un sadalot problēmu vairākās savstarpēji izslēdzoši gadījumi.

Vienkāršākais gadījums, kas jāapsver, ir Yahtzee iegūšana tūlīt pēc pirmās kārtas. Vispirms apskatīsim

Divu ripināšanas varbūtība ir 1/6, un katras nomiršanas rezultāts nav atkarīgs no pārējiem. Tādējādi piecu divkāršu rites varbūtība ir (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Jebkura cita veida piecu skaitļu varbūtība ir arī 1/7776. Tā kā uz veidnes ir pavisam seši dažādi skaitļi, iepriekšminēto varbūtību reizinām ar 6.

Tas nozīmē, ka Yahtzee varbūtība pirmajā rullī ir 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 procenti.

Ja mēs velmēsim kaut ko citu, nevis piecus no pirmā veida ruļļiem, mums būs jāpārvelk daži kauliņi, lai mēģinātu iegūt Yahtzee. Pieņemsim, ka mūsu pirmajam rullim ir četrinieks. mēs atkārtoti velmēsim vienu nesavienojamo stieni un pēc tam iegūsim Yahtzee šajā otrajā rullī.

Kopumā piecu divkāršu šūpošanās varbūtība šādā veidā ir šāda:

1. Pirmajā rullītī mums ir četri divnieki. Tā kā pastāv varbūtība, ka 1/6 ir divkāršs rituālis, un 5/6 - divkāršs, mēs reizinām (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Jebkurš no pieciem kauliņi sarullēti varētu būt tie, kas nav divi. Mēs izmantojam mūsu kombinēto formulu C (5, 1) = 5, lai aprēķinātu, cik daudzos veidos mēs varam izlobīt četrus tworus un kaut ko, kas nav divi.
3. Mēs reizinām un redzam, ka varbūtība, ka pirmajā rullītī tiks precīzi pārvietoti četri twi, ir 25/7776.
4. Otrajā rullī mums jāaprēķina viena un tā paša rites varbūtība. Tas ir 1/6. Tādējādi divkāršās Yahtzee ripināšanas varbūtība iepriekšminētajā veidā ir (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Lai atrastu jebkura Yahtzee ripināšanas varbūtību, tiek atrasts, reizinot iepriekšminēto varbūtību ar 6, jo uz die ir seši dažādi skaitļi. Tas dod 6 x 25/46656 = 0,32 procentu varbūtību.

Bet tas nav vienīgais veids, kā satīt Yahtzee ar diviem ruļļiem. Visas šīs varbūtības ir atrodamas gandrīz tādā pašā veidā kā iepriekš:

• Mēs varētu izlaist trīs veida spēles un pēc tam divus kauliņus, kas atbilst mūsu otrajam rullim. Varbūtība tam ir 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 procenti.
• Mēs varētu uzvilkt atbilstošu pāri, bet otrajā - trīs kauliņus, kas sakrīt. Varbūtība tam ir 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 procenti.
• Mēs varētu izlobīt piecas dažādas kauliņas, izņemot vienu no pirmajām ripām, pēc tam ripināt četrus kauliņus, kas sakrīt otrajā. Varbūtība tam ir (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 procents.

Iepriekš minētie gadījumi ir savstarpēji izslēdzoši. Tas nozīmē, ka, lai aprēķinātu Yahtzee ripināšanas varbūtību divos ruļļos, ​​mēs pievienojam iepriekš minētās varbūtības kopā, un mums ir aptuveni 1,23 procenti.

Pagaidām vissarežģītākajā situācijā mēs pārbaudīsim gadījumu, kad Yahtzee iegūšanai mēs izmantojam visus trīs savus ruļļus. Mēs to varētu darīt vairākos veidos, un mums par tiem visiem ir jāatskaitās.

Šo iespēju varbūtības tiek aprēķinātas zemāk:

• Četru veidu ripošanas varbūtība, tad nekas, pēc tam pēdējās presēšanas samērs ar pēdējo ritējumu ir 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 procenti.
• Varbūtība, ka ripo trīs veida, tad nekas, tad sakritība ar pareizo pāri pēdējā rullī ir 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 procenti.
• Atbilstoša pāra ripināšanas varbūtība, tad nekas, pēc tam sakritība ar pareizo trijnieku trešajā rullī ir 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216) ) = 0,21 procents.
• Viena diega ripošanas varbūtība, tad nekas tam neatbilst, pēc tam trešajā rullī tiek pieskaņots pareizam četrinieka veidam (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 procenti.
• Trīs veida ripināšanas varbūtība, kas nākamajā skrējienā sakrīt ar papildu dievi, kam seko piektās malas pielīdzināšana trešajam rullim ir 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 procenti.
• Pāra ripināšanas varbūtība, nākamajam sarakstam pieskaņojot papildu pāri, kam seko saskaņošana trešā ruļļa piektais stieples stiprums ir 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 procenti.
• Pāra ripināšanas varbūtība, nākamajam velmējumam pieskaņojot papildu dievi, kam seko pēdējie divi kauliņi trešajā rullī ir 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 procenti.
• Varbūtība, ka ripinās viens otrs, cits mirs, lai tas sakristu ar otro rullīti, un tad trešā veida trešajā rullī ir (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 procents.
• Varbūtība, ka izlozēs viena veida, trīs veida mačus otrajā rullī, kam sekos mačs trešajā rullī, ir (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 procenti.
• Varbūtība, ka izdosies izlozēt viena veida pāru, lai tas sakristu ar otro rullīti, un pēc tam vēl vienam pārim, kas sakrīt ar trešo rullīti, ir (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 procenti.

Mēs pievienojam visas iepriekš minētās varbūtības kopā, lai noteiktu Yahtzee ripināšanas varbūtību trīs kauliņu ruļļos. Šī varbūtība ir 3,43 procenti.

Yahtzee varbūtība vienā rullī ir 0,08 procenti, Yahtzee varbūtība divos ruļļos ir 1,23% un Yahtzee varbūtība trīs ruļļos ir 3,43%. Tā kā katrs no tiem ir savstarpēji izslēdzošs, varbūtības mēs pievienojam kopā. Tas nozīmē, ka Yahtzee iegūšanas varbūtība noteiktā pagriezienā ir aptuveni 4,74 procenti. Raugoties perspektīvā, tā kā 1/21 ir aptuveni 4,74 procenti, spēlētājam nejauši vien vajadzētu sagaidīt Yahtzee reizi 21 pagriezienā. Praksē var paiet ilgāks laiks, jo sākotnējais pāris var tikt izmests, lai pārvietotos uz kaut ko citu, piemēram, a taisni.