Eksponenciālās funkcijas pastāstīt stāstus par sprādzienbīstamām izmaiņām. Divu veidu eksponenciālās funkcijas ir eksponenciālā izaugsme un eksponenciālā pagrimšana. Četri mainīgie (izmaiņas procentos, laiks, summa laika perioda sākumā un summa perioda beigās) spēlē lomu eksponenciālajās funkcijās. Izmantojiet eksponenciālās samazināšanas funkciju, lai atrastu summu laika perioda sākumā.
Eksponenciāla sabrukšana
Eksponenciālā samazināšanās ir izmaiņas, kas notiek, kad sākotnējā summa tiek samazināta par nemainīgu ātrumu noteiktā laika posmā.
Šeit ir eksponenciālā samazinājuma funkcija:
y = a (1-b)x
- y: Galīgā summa, kas paliek noteikta laika posmā pēc sabrukšanas
- a: Sākotnējā summa
- x: Laiks
- Sabrukšanas koeficients ir (1-b)
- Mainīgais b ir decimāldaļas samazināšanās procents.
Sākotnējās summas atrašanas mērķis
Ja jūs lasāt šo rakstu, tad, iespējams, esat ambiciozs. Pēc sešiem gadiem, iespējams, jūs vēlaties turpināt bakalaura grāds Sapņu universitātē. Ar 120 000 ASV dolāru cenu zīmi Dream University izsauc finanšu nakts šausmas. Pēc negulētām naktīm jūs, mamma un tētis satiecaties ar finanšu plānotāju. Jūsu vecāku asinsizplūduma acis noskaidrojas, kad plānotājs atklāj, ka ieguldījums ar astoņu procentu pieauguma līmeni var palīdzēt jūsu ģimenei sasniegt mērķi 120 000 USD. Mācieties smagi. Ja jūs un jūsu vecāki šodien ieguldīsit 75 620,36 USD, tad Sapņu universitāte kļūs par jūsu realitāti, pateicoties eksponenciālai sabrukšanai.
Kā atrisināt
Šī funkcija apraksta investīciju eksponenciālo pieaugumu:
120,000 = a(1 +.08)6
- 120 000: galīgā summa, kas paliek pēc 6 gadiem
- .08: Gada pieauguma temps
- 6: Investīciju pieauguma gadu skaits
- a: Sākotnējā summa, ko ieguldīja jūsu ģimene
Pateicoties vienādības simetriskajam īpašumam, 120 000 = a(1 +.08)6 ir tāds pats kā a(1 +.08)6 = 120,000. Simetriskā vienlīdzības īpašība nosaka, ka, ja 10 + 5 = 15, tad 15 = 10 + 5.
Ja vēlaties vienādojumu pārrakstīt ar konstanti (120 000) vienādojuma labajā pusē, tad dariet to.
a(1 +.08)6 = 120,000
Piešķirts, ka vienādojums neizskatās pēc lineārais vienādojums (6a = USD 120 000), bet tas ir atrisināms. Pieturies pie tā!
a(1 +.08)6 = 120,000
Neatrisiniet šo eksponenciālo vienādojumu, dalot 120 000 ar 6. Tā ir vilinoša matemātika nē.
1. Izmantojiet operāciju secību, lai vienkāršotu
a(1 +.08)6 = 120,000
a(1.08)6 = 120 000 (iekavas)
a(1,586874323) = 120 000 (eksponents)
2. Atrisiniet dalot
a(1.586874323) = 120,000
a(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1a = 75,620.35523
a = 75,620.35523
Sākotnējā ieguldāmā summa ir aptuveni 75 620,36 USD.
3. Iesaldēšana: jūs vēl neesat izdarījis; izmantojiet operāciju secību, lai pārbaudītu atbildi
120,000 = a(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Iekavas)
120 000 = 75 620,35523 (1,586874323) (eksponents)
120 000 = 120 000 (reizināšana)
Atbildes un jautājumu skaidrojumi
Woodwood, Teksasas štats, Hjūstonas priekšpilsēta, ir apņēmies slēgt digitālo plaisu savā kopienā. Pirms dažiem gadiem kopienas vadītāji atklāja, ka viņu pilsoņi ir analfabēti datorā. Viņiem nebija piekļuves internets un viņi tika izslēgti no lielceļa informācijas. Līderi izveidoja globālo tīmekli uz riteņiem, mobilo datoru staciju komplektu.
World Wide Web on Wheels ir sasniedzis savu mērķi - tikai 100 analfabētus pilsoņus Vudforestā. Kopienas vadītāji pētīja ikmēneša progresu globālajā tīmeklī uz riteņiem. Saskaņā ar datiem dator analfabētu pilsoņu skaita samazināšanos var raksturot ar šādu funkciju:
100 = a(1 - .12)10
1. Cik cilvēku ir analfabēti datorā 10 mēnešus pēc tam, kad ir izveidots globālais tīmeklis uz riteņiem?
- 100 cilvēki
Salīdziniet šo funkciju ar sākotnējo eksponenciālā pieauguma funkciju:
100 = a(1 - .12)10
y = a (1 + b)x
mainīgsy attēlo datoru analfabētu skaitu 10 mēnešu beigās, tāpēc 100 cilvēku joprojām ir analfabēti pēc tam, kad sabiedrībā sāka darboties globālais tīmeklis uz riteņiem.
2. Vai šī funkcija atspoguļo eksponenciālu samazinājumu vai eksponenciālu pieaugumu?
- Šī funkcija attēlo eksponenciālu samazinājumu, jo negatīvas zīmes priekšā ir procentuālās izmaiņas (.12).
3. Kāda ir mēneša pārmaiņu likme?
- 12 procenti
4. Cik daudz cilvēku bija analfabēti pirms 10 mēnešiem, kad sākās globālais tīmeklis uz riteņiem?
- 359 cilvēki
Izmantojietoperāciju secība vienkāršot.
100 = a(1 - .12)10
100 = a(.88)10 (Iekavas)
100 = a(.278500976) (eksponents)
Sadaliet, lai atrisinātu.
100(.278500976) = a(.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1a
359.0651689 = a
Izmantojiet operāciju secību, lai pārbaudītu atbildi.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Iekavas)
100 = 359,0651689 (.278500976) (eksponents)
100 = 100 (reizināt)
5. Ja šīs tendences turpināsies, cik cilvēku būs datoru analfabēti 15 mēnešus pēc tam, kad būs izveidots globālais tīmeklis uz riteņiem?
- 52 cilvēki
Pievienojiet tam, ko jūs zināt par funkciju.
y = 359.0651689(1 - .12) x
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Izmantojiet operāciju secību, lai atrastu y.
y = 359.0651689(.88)15 (Iekavas)
y = 359,0651689 (.146973854) (eksponents)
y = 52.77319167 (reizināt).