Kas ir Calculus? Definīcija un praktiskais pielietojums

Aprēķins ir matemātikas nozare, kas ietver izmaiņu likmju izpēti. Pirms aprēķina tika izgudrots, visa matemātika bija statiska: tā varēja palīdzēt tikai aprēķināt objektus, kas pilnīgi nekustēja. Bet Visums pastāvīgi mainās un mainās. Neviens objekts - no zvaigznēm kosmosā līdz ķermeņa subatomiskajām daļiņām vai šūnām - vienmēr atrodas miera stāvoklī. Patiešām, gandrīz viss Visumā pastāvīgi mainās. Kalkuls palīdzēja noteikt, kā daļiņas, zvaigznes un matērija reālajā laikā faktiski pārvietojas un mainās.

Aprēķinu izmanto daudzos laukos, par kuriem jūs parasti nedomājat, ka izmantosit tā jēdzienus. Starp tiem ir fizika, inženierzinātnes, ekonomika, statistika un medicīna. Kalkulus izmanto arī tādās atšķirīgās vietās kā kosmosa ceļojumi, kā arī nosaka, kā medikamenti mijiedarbojas ar ķermeni, un pat to, kā veidot drošākas struktūras. Jūs sapratīsit, kāpēc aprēķins ir noderīgs tik daudzās jomās, ja mazliet zināt par tā vēsturi, kā arī par to, kā tas ir paredzēts, lai to izdarītu un izmērītu.

Taustiņu atslēga: aprēķina pamatteorema

Kalkulusu 17. gadsimta otrajā pusē izstrādāja divi matemātiķi - Gotfrīds Leibnizs un Īzaks Ņūtons. Ņūtons vispirms izstrādāja aprēķinus un pielietoja tos tieši fizisko sistēmu izpratnei. Neatkarīgi Leibnica izstrādāja aprēķinos izmantotos apzīmējumus. Vienkārši sakot, kamēr pamata matemātikā tiek izmantotas tādas darbības kā plus, mīnus, laiki un dalīšana (+, -, x un ÷), aprēķinos tiek izmantotas darbības, kas izmanto funkcijas un integrāļi aprēķināt izmaiņu likmes.

Šie rīki ļāva Ņūtonam, Leibnizam un citiem matemātiķiem, kuri sekoja, aprēķināt tādas lietas kā precīzs līknes slīpums jebkurā brīdī. Matemātikas stāsts izskaidro Ņūtona pamata teorēmas nozīmi:

"Atšķirībā no grieķu statiskās ģeometrijas, aprēķins ļāva matemātiķiem un inženieriem izprast kustība un dinamiskas izmaiņas mainīgajā pasaulē ap mums, piemēram, planētu orbītas, šķidrumu kustība, utt. "

Izmantojot aprēķinus, zinātnieki, astronomi, fiziķi, matemātiķi un ķīmiķi tagad varēja plānot planētu un zvaigžņu orbītu, kā arī elektronu un protonu ceļu atomu līmenī.

Ir divas aprēķinu filiāles: diferenciālais un integrālais aprēķins. "Diferenciālie aprēķini pēta atvasinātos un integrālos aprēķinus... integrāļus," atzīmē Masačūsetsas Tehnoloģiju institūts. Bet tam ir kas vairāk. Diferenciālais aprēķins nosaka daudzuma izmaiņu ātrumu. Tas pēta slīpumu un līkņu maiņas ātrumu.

Šī nozare attiecas uz funkciju izmaiņu ātruma izpēti attiecībā uz to mainīgajiem, jo ​​īpaši izmantojot atvasinājumus un diferenciāļus. Atvasinājums ir līnijas slīpums uz grafika. Aprēķinot vērtību, jūs atradīsit līnijas slīpumu pacelties skrējiena laikā.

Integrāls aprēķinsturpretī cenšas atrast daudzumu, kurā ir zināms izmaiņu ātrums. Šī filiāle koncentrējas uz tādiem jēdzieniem kā pieskares līniju un ātrumu nogāzes. Kamēr diferenciālais aprēķins koncentrējas uz pašu līkni, integrālais aprēķins pats attiecas uz telpu vai laukumu zem līkne. Kopējo lielumu vai vērtību, piemēram, garumus, laukumus un apjomus, izmanto, lai aprēķinātu integrālo aprēķinu.

Kalkulusam bija neatņemama loma navigācijas attīstība 17. un 18. gadsimtā, jo tas jūrniekiem ļāva izmantot mēness stāvokli, lai precīzi noteiktu vietējo laiku. Lai sastādītu savu atrašanās vietu jūrā, navigatoriem bija jāspēj precīzi izmērīt gan laiku, gan leņķi. Pirms aprēķinu izstrādes kuģu navigatori un kapteiņi nevarēja izdarīt nevienu no šiem.

Aprēķins - gan atvasināts, gan neatņemams - palīdzēja uzlabot izpratni par šo svarīgo jēdzienu Zemes līknes, attāluma kuģiem bija jābrauc pa līkni, lai nokļūtu noteiktā vietā un pat Zemes, jūru un kuģu izlīdzinājumam attiecībā pret zvaigznes.

Kalkulam ir daudz praktisku pielietojumu reālajā dzīvē. Daži no jēdzieni, kas izmanto aprēķinu ietver kustību, elektrību, siltumu, gaismu, harmonikas, akustiku un astronomiju. Aprēķinu izmanto ģeogrāfijā, datoru redzējumā (piemēram, autonomai automašīnas vadīšanai), fotografēšanai, mākslīgajam intelektam, robotikai, video spēlēm un pat filmām. Kalkulu izmanto arī, lai aprēķinātu radioaktīvās sabrukšanas pakāpi ķīmijā un pat dzimšanas un mirstības prognozēšanai, kā arī gravitācijas un planētas kustības, šķidruma plūsmas, kuģa konstrukcijas, ģeometrisko līkņu un tiltu inženierijas pētījumos.

Piemēram, fizikā aprēķins tiek izmantots, lai palīdzētu definēt, izskaidrot un aprēķināt kustību, elektrību, siltumu, gaismu, harmonikas, akustiku, astronomiju un dinamiku. Einšteina relativitātes teorija balstās uz aprēķiniem - matemātikas jomu, kas arī palīdz ekonomistiem prognozēt, cik lielu peļņu var gūt uzņēmums vai nozare. Un iekšā kuģu būve, daudzus gadus tika izmantots aprēķins, lai noteiktu gan kuģa korpusa līkni (izmantojot diferenciāli akmeņi), kā arī laukums zem korpusa (izmantojot integrētus akmeņus) un pat vispārējā kuģi.

Turklāt aprēķinu izmanto, lai pārbaudītu atbildes uz dažādām matemātikas disciplīnām, piemēram, statistiku, analītisko ģeometriju un algebru.

Ekonomisti izmanto aprēķinus, lai prognozētu piedāvājumu, pieprasījumu un maksimālo iespējamo peļņu. Galu galā piedāvājums un pieprasījums tiek raksturoti uz līknes, un tajā nepārtraukti mainīgā līkne.

Ekonomisti izmanto aprēķinus, lai noteiktu cenu elastība pēc pieprasījuma. Viņi atsaucas uz nepārtraukti mainīgo piedāvājuma un pieprasījuma līkni kā "elastīgu" un līknes darbību kā "elastību". Lai aprēķinātu precīzu elastības rādītāju noteiktā Lai norādītu uz piedāvājuma vai pieprasījuma līkni, jums ir jādomā par bezgalīgi mazām cenu izmaiņām un tā rezultātā savā elastībā jāiekļauj matemātiski atvasinājumi. formulas. Aprēķins ļauj noteikt konkrētus punktus mainīgajā piedāvājuma un pieprasījuma līknē.

"Aprēķina kopsavilkums." Masačūsetsas Tehnoloģiju institūts, 2000. gada 10. janvāris, Kembridža, MA.