Faktors (!) Matemātikā un statistikā

Matemātikā simboli, kuriem ir noteiktas nozīmes angļu valodā var nozīmēt ļoti specializētas un dažādas lietas. Piemēram, ņemiet vērā šādu izteicienu:

3!

Nē, mēs neizmantojām izsaukuma zīme lai parādītu, ka esam satraukti par trim, un mums nevajadzētu lasīt pēdējo teikumu ar uzsvaru. Matemātikā izteiksme 3! tiek lasīts kā "trīs koeficienti" un tiešām ir saīsināts veids, kā apzīmēt vairāku secīgu veselo skaitļu reizināšanu.

Tā kā visā matemātikā un statistikā ir daudz vietu, kur mums skaitļi jāsareizina, koeficients ir diezgan noderīgs. Dažas no galvenajām vietām, kur tas parādās, ir kombinatorika un varbūtība aprēķins.

Faktoriāla definīcija ir tāda, kāda ir jebkuram pozitīvam skaitlim n, faktoriālais:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1

Vispirms apskatīsim dažus faktoriālu piemērus ar mazām vērtībām n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
instagram viewer
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Kā redzam, koeficients ļoti ātri kļūst ļoti liels. Kaut kas var šķist mazs, piemēram, 20! faktiski ir 19 cipari.

Faktoriālus ir viegli aprēķināt, taču tos var būt nedaudz apnicīgi aprēķināt. Par laimi daudziem kalkulatoriem ir koeficienta atslēga (meklējiet! simbols). Šī kalkulatora funkcija automatizēs reizināšanu.

Viena otra koeficienta vērtība, kurai neatbilst iepriekšminētā standarta definīcija, ir nulles koeficients. Ja mēs ievērotu formulu, tad mēs nenonāktu pie vērtības 0!. Nav neviena pozitīva vesela skaitļa, kas ir mazāks par 0. Vairāku iemeslu dēļ ir lietderīgi definēt 0! = 1. Šīs vērtības koeficients īpaši parādās formulas kombinācijas un permutācijas.

Darījumos ar aprēķiniem ir svarīgi padomāt, pirms mēs nospiedām koeficienta taustiņu uz mūsu kalkulatora. Lai aprēķinātu izteicienu, piemēram, 100! / 98! ir pāris dažādi veidi, kā to panākt.

Viens veids ir izmantot a kalkulators atrast abus 100! un 98!, tad sadaliet viens otru. Lai gan tas ir tiešs aprēķināšanas veids, ar to ir saistītas dažas grūtības. Daži kalkulatori nevar tikt galā ar izteiksmēm, kas ir 100! = 9,33262154 x 10¹⁵⁷. (Izteiciens 10¹⁵⁷ ir zinātnisks apzīmējums, kas nozīmē, ka mēs reizinām ar 1, kam seko 157 nulles.) Šis skaitlis ir ne tikai masīvs, bet arī tikai aprēķins reālajai vērtībai 100!

Cits veids, kā vienkāršot izteiksmi ar tādām koeficientiem kā šeit redzētais, nemaz neprasa kalkulatoru. Veids, kā vērsties pret šo problēmu, ir atzīt, ka mēs varam pārrakstīt 100! nevis kā 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, bet tā vietā kā 100 x 99 x 98! Izteiciens 100! / 98! tagad kļūst par (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.