Komplekta teorija un kā tā tiek izmantota

Kopu teorija ir pamatjēdziens visā matemātikā. Šī matemātikas nozare veido pamatu citām tēmām.

Intuitīvi kopa ir objektu kolekcija, ko sauc par elementiem. Lai arī tā šķiet vienkārša ideja, tai ir dažas tālejošas sekas.

Komplekta elementi patiešām var būt jebkas - skaitļi, stāvokļi, automašīnas, cilvēki vai pat citi komplekti ir visas elementu iespējas. Komplekta veidošanai var izmantot gandrīz visu, ko var savākt kopā, lai gan ir dažas lietas, kurām mums jābūt uzmanīgiem.

Komplekta elementi ir vai nu komplektā, vai arī nav komplektā. Mēs varam aprakstīt kopu ar definējošu rekvizītu vai arī uzskaitīt kopas elementus. Kārtība, kādā viņi tiek uzskaitīti, nav svarīga. Tātad kopas {1, 2, 3} un {1, 3, 2} ir vienādas kopas, jo tās abas satur vienādus elementus.

Īpaši jāpiemin divi komplekti. Pirmais ir universālais komplekts, ko parasti apzīmē U. Šis komplekts ir visi elementi, no kuriem mēs varam izvēlēties. Šis komplekts dažādos iestatījumos var atšķirties. Piemēram, viens universālais komplekts var būt kopums

Otru komplektu, kam jāpievērš uzmanība, sauc par tukšs komplekts. Tukšais komplekts ir unikālais komplekts, kurā nav elementu. Mēs to varam uzrakstīt kā {} un apzīmēt šo komplektu ar simbolu ∅.

Dažu kopas elementu kolekcija A sauc par a apakškopa no A. Mēs to sakām A ir apakškopa B ja un tikai tad, ja katrs A ir arī B. Ja ir ierobežots skaitlis n elementu komplektā, tad kopā ir 2ⁿ apakšgrupas A. Šī visu apakšgrupu kolekcija A ir kopa, ko sauc par barošanas komplekts no A.

Tāpat kā mēs varam veikt tādas operācijas kā pievienošana - diviem skaitļiem, lai iegūtu jaunu numuru, kopas teorijas operācijas tiek izmantotas, lai izveidotu kopu no divām citām kopām. Ir vairākas operācijas, bet gandrīz visas tās sastāv no šādām trim operācijām:

• Savienība - Arodbiedrība nozīmē apvienošanos. Komplektu savienība A un B sastāv no elementiem, kas ir abos A vai B.
• Krustojums - Krustojums ir tas, kur satiekas divas lietas. Komplektu krustojums A un B sastāv no elementiem, kas abos A un B.
• Papildinājums - komplekta papildinājums A sastāv no visiem universālā komplekta elementiem, kas nav A.

Vienu rīku, kas ir noderīgs dažādu kopu attiecību attēlošanā, sauc par Venna diagrammu. Taisnstūris apzīmē mūsu problēmas universālo kopumu. Katrs komplekts ir attēlots ar apli. Ja apļi pārklājas viens ar otru, tad tas parāda mūsu divu kopu krustojumu.

Kopu teorija tiek izmantota visā matemātikā. To izmanto kā pamatu daudzām matemātikas apakšnozarēm. Jomās, kas attiecas uz statistiku, to īpaši izmanto varbūtībā. Liela daļa varbūtības jēdzienu ir atvasināti no kopējās teorijas sekām. Patiešām, viens veids, kā norādīt varbūtības aksiomas ietver kopu teoriju.