Matemātiskajai statistikai dažreiz ir jāizmanto kopu teorija. De Morgana likumi ir divi apgalvojumi, kas apraksta dažādu kopu teorijas operāciju mijiedarbību. Likumi ir tādi, kādi attiecas uz jebkuriem diviem komplektiem A un B:
- (A ∩ B)C = AC U BC.
- (A U B)C = AC ∩ BC.
Pēc tam, kad būs izskaidrots, ko katrs no šiem apgalvojumiem nozīmē, mēs apskatīsim piemēru, kā katrs no tiem tiek izmantots.
Iestatīt teorijas operācijas
Lai saprastu, ko saka De Morgana likumi, mums jāatceras dažas definētās teorijas operāciju kopas. Konkrēti, mums jāzina par savienība un krustojums divu komplektu un komplekta papildinājumu.
De Morgana likumi attiecas uz savienības, krustojuma un papildinājuma mijiedarbību. Atgādināt, ka:
- Komplektu krustojums A un B sastāv no visiem elementiem, kas ir kopīgi abiem A un B. Krustojumu apzīmē ar A ∩ B.
- Komplektu savienība A un B sastāv no visiem elementiem, kas abos A vai B, ieskaitot elementus abās kopās. Krustojumu apzīmē ar burtu A U B.
- Komplekta papildinājums A sastāv no visiem elementiem, kas nav A. Šo papildinājumu apzīmē ar AC.
Tagad, kad esam atgādinājuši šīs elementārās operācijas, mēs redzēsim De Morgana likumu likumu. Par katru komplektu pāri A un B mums ir:
- (A ∩ B)C = AC U BC
- (A U B)C = AC ∩ BC
Šos divus apgalvojumus var ilustrēt, izmantojot Venna diagrammas. Kā redzams zemāk, mēs varam pierādīt, izmantojot piemēru. Mums jāpierāda, ka šie apgalvojumi ir patiesi pierādīt viņiem izmantojot kopas teorijas operāciju definīcijas.
De Morgana likumu piemērs
Piemēram, apsveriet reālie skaitļi no 0 līdz 5. To mēs rakstām ar intervālu notāciju [0, 5]. Šajā komplektā mums ir A = [1, 3] un B = [2, 4]. Turklāt pēc tam, kad esam piemērojuši savas pamata darbības, mums ir:
- Papildinājums AC = [0, 1) U (3, 5]
- Papildinājums BC = [0, 2) U (4, 5]
- Savienība A U B = [1, 4]
- Krustojums A ∩ B = [2, 3]
Mēs sākam ar savienības aprēķināšanu AC U BC. Mēs redzam, ka [0, 1) U (3, 5] savienība ar [0, 2) U (4, 5] ir [0, 2) U (3, 5]. Krustojums A ∩ B ir [2, 3]. Mēs redzam, ka šīs kopas [2, 3] papildinājums ir arī [0, 2) U (3, 5]. Tādā veidā mēs to esam parādījuši AC U BC = (A ∩ B)C.
Tagad mēs redzam [0, 1) U (3, 5] krustojumu ar [0, 2) U (4, 5] ir [0, 1) U (4, 5]. Mēs arī redzam, ka [1, 4] papildinājums ir arī [0, 1) U (4, 5]. Tādā veidā mēs to esam parādījuši AC ∩ BC = (A U B)C.
De Morgana likumu nosaukšana
Visā loģikas vēsturē tādi cilvēki kā Aristotelis un Viljams no Okhemas ir izteikuši paziņojumus, kas ir līdzvērtīgi De Morgana likumiem.
De Morgana likumi nosaukti pēc Augusta De Morgana, kurš dzīvoja no 1806. līdz 1871. gadam. Lai arī viņš šos likumus neatklāja, viņš bija pirmais, kurš šos paziņojumus ieviesa formāli, izmantojot matemātisku formulējumu ierosināšanas loģikā.