Kas ir tukšs komplekts komplekta teorijā?

Kad nekas nevar būt kaut kas? Tas šķiet muļķīgs un diezgan paradoksāls jautājums. Ierobežotās teorijas matemātiskajā laukā parasti nekas nav nekas cits kā nekas. Kā tas var būt?

Kad mēs veidojam komplektu, kurā nav elementu, mums vairs nav nekā. Mums ir komplekts, kurā nav nekā. Komplektam ir īpašs nosaukums, kurā nav neviena elementa. To sauc par tukšu vai nulles kopu.

Tukšās kopas definīcija ir diezgan smalka un prasa mazliet pārdomāt. Ir svarīgi atcerēties, ka mēs domājam par komplekts kā elementu kolekcija. Pats komplekts atšķiras no elementiem, ko tas satur.

Piemēram, mēs apskatīsim {5}, kas ir komplekts, kas satur 5. elementu. Komplekts {5} nav skaitlis. Tas ir komplekts ar numuru 5 kā elementu, turpretī 5 ir skaitlis.

Līdzīgā veidā tukšais komplekts nav nekas. Tā vietā tas ir komplekts bez elementiem. Tas palīdz domāt par komplektiem kā traukiem, un elementi ir tās lietas, ko mēs tajos ievietojam. Tukšs konteiners joprojām ir konteiners un ir analogs tukšajam komplektam.

Tukšais komplekts ir unikāls, tāpēc par to ir pilnīgi pareizi runāt tukšs komplekts, nevis an tukšs komplekts. Tas padara tukšu komplektu atšķirīgu no citiem. Tajos ir bezgala daudz komplektu ar vienu elementu. Komplektiem {a}, {1}, {b} un {123} katram ir viens elements, un tāpēc tie ir līdzvērtīgi viens otram. Tā kā paši elementi atšķiras viens no otra, komplekti nav vienādi.

Iepriekš minētajos piemēros nav nekā īpaša, un katram no tiem ir viens elements. Ar vienu izņēmumu jebkuram skaitīšanas skaitlim vai bezgalībai ir bezgalīgi daudz šāda lieluma komplektu. Izņēmums ir skaitlis nulle. Ir tikai viens komplekts, tukšs komplekts, bez tā elementiem.

Šī fakta matemātiskais pierādījums nav grūti. Vispirms mēs pieņemam, ka tukšā kopa nav unikāla, ka tajās ir divas kopas, kurās nav elementu, un pēc tam izmantojiet dažas kopas teorijas īpašības, lai parādītu, ka šis pieņēmums nozīmē pretrunu.

Tukšu komplektu apzīmē simbols ∅, kas nāk no līdzīga simbola dāņu alfabētā. Dažas grāmatas atsaucas uz tukšu komplektu ar tā null komplekta alternatīvo nosaukumu.

Tā kā ir tikai viens tukšs komplekts, ir vērts redzēt, kas notiek, ja iestatītās darbības notiek krustojums, savienība un papildinājums tiek izmantoti ar tukšu kopu un vispārīgu kopu, kuru mēs apzīmēsim autors X. Interesanti ir arī apsvērt tukšās kopas apakškopu un to, kad ir tukšās kopas apakškopa. Šie fakti ir apkopoti zemāk:

• krustojums jebkura tukšas kopas kopa ir tukša. Tas ir tāpēc, ka tukšajā komplektā nav elementu, un tāpēc abām kopām nav kopīgu elementu. Simbolos mēs rakstām X ∩ ∅ = ∅.
• savienība jebkura komplekta ar tukšu komplektu ir tā ko mēs sākām. Tas notiek tāpēc, ka tukšajā komplektā nav elementu, un tāpēc, veidojot savienību, otrai kopai mēs nepievienojam nevienu elementu. Simbolos mēs rakstām X U ∅ = X.
• papildināt tukšās kopas ir universālā iestatījuma kopa, kurā mēs strādājam. Tas notiek tāpēc, ka visu elementu kopa, kas nav tukšajā komplektā, ir tikai visu elementu kopa.
• Tukša kopa ir jebkura komplekta apakškopa. Tas notiek tāpēc, ka mēs veidojam kopas apakškopas X atlasot (vai neatlasot) elementus no X. Viena no apakškopas iespējām ir neizmantot elementus no X. Tas dod mums tukšo komplektu.