Kāds ir cauchy sadalījums

Viens izlases veida mainīgā sadalījums ir svarīgs nevis tā lietojumiem, bet gan tam, ko tas mums saka par mūsu definīcijām. Cauchy sadalījums ir viens no šādiem piemēriem, ko dažreiz dēvē arī par patoloģisku piemēru. Iemesls tam ir tas, ka, lai arī šis sadalījums ir precīzi definēts un tam ir saistība ar fizisku parādību, sadalījumam nav vidējā vai dispersijas. Patiešām, šim izlases veida mainīgajam nav a momentu ģenerējošā funkcija.

Mēs definējam Cauchy sadalījumu, ņemot vērā vērpējus, piemēram, veidu galda spēlē. Šī vērpiena centrs tiks noenkurots uz y ass punktā (0, 1). Pēc vērpšanas vērpšanas mēs pagarināsim vērpotāja līnijas segmentu, līdz tas šķērsos x asi. Tas tiks definēts kā mūsu izlases mainīgais X.

Mēs apzīmējam w, kas ir mazāks no diviem leņķiem, ko vērpējs veido ar y ass. Mēs pieņemam, ka šis vērpējs tikpat labi veido jebkuru leņķi kā cits, tāpēc W ir vienmērīgs sadalījums, kas svārstās no -π / 2 līdz π / 2.

Pamata trigonometrija nodrošina savienojumu starp mūsu diviem izlases lielumiem:

X = iedegumsW.

Kumulatīvā sadalījuma funkcijaXtiek atvasināts šādi:

H(x) = Lpp(X < x) = Lpp(iedegumsW < x) = Lpp(W < arktānsX)

Pēc tam mēs izmantojam faktu, kaW ir vienveidīgs, un tas dod mums:

H(x) = 0.5 + (arktānsx)/π

Lai iegūtu varbūtības blīvuma funkciju, mēs diferencējam kumulatīvo blīvuma funkciju. Rezultāts ir h(x) = 1/[π (1 + x²) ]

Kaučija sadalījums padara interesantu to, ka, kaut arī mēs to esam definējuši, izmantojot a fizisko sistēmu izlases vērpējs, izlases mainīgais ar Cauchy sadalījumu nerada vidējo, dispersiju vai momentu funkcija. Visi no mirkļi par izcelsmi, kas tiek izmantota, lai definētu šos parametrus, nepastāv.

Sākumā apsveram vidējo. Vidējo vērtību definē kā mūsu izlases lieluma paredzamo vērtību un tādējādi E [X] = ∫_-∞^∞x /[π (1 + x²)] dx.

Mēs integrējamies, izmantojot aizstāšana. Ja mēs noteikti u = 1 +x² tad mēs redzam, ka du = 2x dx. Pēc aizvietošanas iegūtais nepareizais integrālis nesaplūst. Tas nozīmē, ka paredzētā vērtība neeksistē un vidējā vērtība nav noteikta.

Tāpat dispersija un momentu ģenerējošā funkcija nav definēta.

Cauchy sadalījums ir nosaukts franču matemātiķim Augustīnam-Luisam Caučijam (1789. – 1857.). Neskatoties uz to, ka šis izplatījums tika nosaukts par Cauchy, informāciju par izplatīšanu pirmo reizi publicēja Puasona.