Reālā skaitļa raksturojums

Kas ir cipars? Nu tas ir atkarīgs. Ir daudz dažādu numuru, katram ir savas īpašās īpašības. Viena veida numurs, uz kura statistika, varbūtību, un liela daļa matemātikas ir balstīta uz to, sauc par reālo skaitli.

Lai uzzinātu, kas ir reālais skaitlis, vispirms īsi apskatīsim citu veidu numurus.

Vispirms mēs uzzinām par skaitļiem, lai skaitītu. Mēs sākām ar ciparu 1, 2 un 3 saskaņošanu ar pirkstiem. Tad mēs turpinājām iet tik augstu, cik varēja, kas, iespējams, nebija tik augsts. Šie skaitīšanas vai naturālie skaitļi bija vienīgie skaitļi, par kuriem mēs zinājām.

Vēlāk, strādājot ar atņemšanu, negatīvs tika ieviesti veseli skaitļi. Pozitīvo un negatīvo veselo skaitļu kopu sauc par veselu skaitļu kopu. Neilgi pēc tam tika apsvērti racionāli skaitļi, ko sauc arī par frakcijām. Tā kā katru veselu skaitli var uzrakstīt kā frakciju ar 1 saucējā, mēs sakām, ka veseli skaitļi veido racionālo skaitļu apakškopu.

senie grieķi sapratu, ka ne visus skaitļus var veidot kā frakciju. Piemēram, kvadrātsakni no 2 nevar izteikt kā frakciju. Šādus numurus sauc par neracionāliem numuriem. Irracionālu skaitļu ir daudz, un zināmā mērā pārsteidzoši ir tas, ka irracionāli skaitļi ir vairāk nekā racionāli. Citi neracionāli skaitļi ietver

Katru reālo skaitli var uzrakstīt kā decimāldaļu. Dažādiem reālo skaitļu veidiem ir atšķirīgi decimālo paplašinājumu veidi. Racionāla skaitļa decimālā izplešanās beidzas, piemēram, 2, 3.25 vai 1.2342, vai atkārtojas, piemēram, .33333.. Vai .123123123.. . Pretstatā tam neracionāla skaitļa decimālā izplešanās ir nedefinējoša un neatkārtojas. To var redzēt pi decimālajā paplašinājumā. Pī ir nebeidzama ciparu virkne, un turklāt nav tādu ciparu virkņu, kas bezgalīgi atkārtojas.

Reālos skaitļus var vizualizēt, katru no tiem saistot ar vienu no bezgalīgajiem punktiem pa taisnu līniju. Reālajiem skaitļiem ir secība, kas nozīmē, ka attiecībā uz diviem atšķirīgiem reālajiem skaitļiem mēs varam teikt, ka viens ir lielāks par otru. Pēc vienošanās pārvietošanās pa kreisi pa reālā skaitļa līniju atbilst mazākam un mazākam skaitlim. Pāreja pa labi gar reālā skaitļa līniju atbilst lielākiem un lielākiem skaitļiem.

Reālie skaitļi uzvedas tāpat kā citi skaitļi, ar kuriem mēs esam pieraduši rīkoties. Mēs tos varam saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt (ja vien nedalām ar nulli). Neskaitīšanas un reizināšanas kārtība nav svarīga, jo pastāv komutācijas īpašība. Sadalošais īpašums norāda, kā reizināšana un saskaitīšana mijiedarbojas savā starpā.

Kā minēts iepriekš, reālajiem skaitļiem ir kārtība. Ņemot vērā jebkurus divus reālos skaitļus x un y, mēs zinām, ka taisnība ir tikai vienā no šiem:

x = y, x < y vai x > y.

Īpašums, kas reālos skaitļus atšķir no citām skaitļu kopām, piemēram, racionāli, ir īpašums, kas pazīstams kā pilnīgums. Pilnīgums ir nedaudz tehniski izskaidrojams, taču intuitīvs uzskats ir tāds, ka racionālu skaitļu kopai tajā ir nepilnības. Reālo skaitļu kopai nav nepilnību, jo tā ir pilnīga.

Kā ilustrāciju apskatīsim racionālo skaitļu secību 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,... Katrs šīs kārtas termins ir tuvinājums pi, ko iegūst, saīsinot pi decimālo paplašinājumu. Šīs secības nosacījumi kļūst tuvāk un tuvāk pi. Tomēr, kā mēs jau minējām, pi nav racionāls skaitlis. Mums ir jāizmanto neracionāli skaitļi, lai iespraustu ciparu līnijas caurumus, kas rodas, tikai ņemot vērā racionālos skaitļus.

Nevajadzētu būt pārsteigumam, ka ir bezgalīgs reālo skaitļu skaits. To var diezgan viegli redzēt, ja ņemam vērā, ka veseli skaitļi veido reālo skaitļu apakškopu. To mēs arī redzējām, saprotot, ka ciparu rindiņai ir bezgalīgs punktu skaits.

Pārsteidzoši ir tas, ka bezgalībai, ko izmanto reālo skaitļu skaitīšanai, ir cita veida nekā bezgalībai, ko izmanto, lai saskaitītu veselos skaitļus. Veseli skaitļi, veseli skaitļi un racionāli ir neskaitāmi bezgalīgi. Reālo skaitļu kopa ir neizsakāmi bezgalīga.

Īstie skaitļi iegūst savu vārdu, lai tos atšķir no vēl lielāka skaitļa jēdziena vispārināšanas. Iedomātais skaitlis i ir definēta kā negatīvās kvadrātsakne. Jebkurš reālais skaitlis, kas reizināts ar i ir arī pazīstams kā iedomāts skaitlis. Iedomāti skaitļi noteikti stiepj mūsu skaitļa koncepciju, jo tie nepavisam nav tas, par ko mēs domājām, kad pirmo reizi iemācījāmies skaitīt.