Aprēķini ar funkciju Gamma

gamma funkcija definē ar šādu sarežģīti izskatītu formulu:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Viens no jautājumiem, kas cilvēkiem rodas, pirmo reizi saskaroties ar šo mulsinošo vienādojumu, ir šāds: “Kā jūs izmantojat šo formulu, lai aprēķinātu gamma funkcija? ” Šis ir svarīgs jautājums, jo ir grūti zināt, ko šī funkcija pat nozīmē un kādi ir visi simboli priekš.

Viens veids, kā atbildēt uz šo jautājumu, ir aplūkot vairākus izlases aprēķinus ar gamma funkciju. Pirms mēs to darām, mums ir jāzina dažas lietas no aprēķiniem, piemēram, kā integrēt I tipa nepareizu integrālu, un ka e ir matemātiskā konstante.

Pirms jebkādu aprēķinu veikšanas mēs pārbaudām šo aprēķinu motivāciju. Daudzas reizes gamma funkcijas parādās aiz ainas. Gamma funkcijas izteiksmē ir norādītas vairākas varbūtības blīvuma funkcijas. To piemēri ir gamma sadalījums un studentu t sadalījums. Gamma funkcijas nozīmi nevar novērtēt par augstu.

Pirmais aprēķina piemērs, kuru mēs pētīsim, ir gamma funkcijas vērtības atrašana Γ (1). To var atrast iestatot z = 1 iepriekšminētajā formulā:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Iepriekš minēto integrālu mēs aprēķinām divos posmos:

• Nenoteiktais integrālis ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Tas ir nepareizs integrālis, tāpēc mums ir ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Nākamais piemēra aprēķins, kuru mēs apsvērsim, ir līdzīgs pēdējam, bet mēs palielinām z pa 1. Tagad mēs aprēķinām ma (2) gamma funkcijas vērtību, iestatot z = 2 iepriekšminētajā formulā. Darbības ir tādas pašas kā iepriekš:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Nenoteiktais integrālis ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Lai gan mēs esam tikai palielinājuši z ar 1, šī integrāla aprēķināšana prasa vairāk darba. Lai atrastu šo neatņemamo sastāvdaļu, mums jāizmanto aprēķina tehnika, kas pazīstama kā integrācija pa daļām. Tagad mēs izmantojam integrācijas robežas tāpat kā iepriekš, un mums jāaprēķina:

lim_{b → ∞}- būt ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Rezultāts no aprēķina, kas pazīstams kā L’Hospital’s noteikums, ļauj mums aprēķināt limitu limitu_{b → ∞}- būt ^{- b} = 0. Tas nozīmē, ka mūsu integrāļa vērtība ir 1.

Vēl viena gamma funkcijas iezīme un tā, kas to savieno ar faktoriālais ir formula Γ (z +1 ) =zΓ (z ) priekš z jebkurš sarežģīts skaitlis ar pozitīvu īsts daļa. Iemesls, kāpēc tā ir taisnība, ir tiešs gamma funkcijas formulas rezultāts. Izmantojot integrāciju pa daļām, mēs varam noteikt šo gamma funkcijas īpašību.