Kāds ir negatīvs binomu sadalījums?

Negatīvais binomālais sadalījums ir a varbūtības sadalījums kas tiek izmantots ar diskrētiem nejaušiem mainīgajiem. Šis izplatīšanas veids attiecas uz izmēģinājumu skaitu, kas jāveic, lai panāktu iepriekš noteiktu panākumu skaitu. Kā redzēsim, negatīvais binomālais sadalījums ir saistīts ar divdomīgais sadalījums. Turklāt šis sadalījums vispārina ģeometrisko sadalījumu.

Sākumā apskatīsim gan iestatījumu, gan apstākļus, kas rada negatīvu binomālo sadalījumu. Daudzi no šiem nosacījumiem ir ļoti līdzīgi binominālajam iestatījumam.

1. Mums ir Bernulli eksperiments. Tas nozīmē, ka katram mūsu veiktajam izmēģinājumam ir precīzi definēti panākumi un neveiksmes un ka šie ir vienīgie rezultāti.
2. Panākumu varbūtība ir nemainīga neatkarīgi no tā, cik reizes mēs veicam eksperimentu. Mēs apzīmējam šo pastāvīgo varbūtību ar a lpp.
3. Eksperiments tiek atkārtots X neatkarīgi pētījumi, kas nozīmē, ka viena izmēģinājuma rezultātam nav ietekmes uz nākamā izmēģinājuma rezultātu.

Šie trīs nosacījumi ir identiski binomālā sadalījuma nosacījumiem. Atšķirība ir tāda, ka divdomīgajam nejaušajam mainīgajam ir noteikts izmēģinājumu skaits

Negatīvs binomālais sadalījums attiecas uz izmēģinājumu skaitu X tam jānotiek, kamēr mums nav r panākumi. Numurs r ir vesels skaitlis, kuru mēs izvēlamies, pirms sākam izmēģinājumus. Nejaušais mainīgais X joprojām ir diskrēts. Tomēr tagad nejaušajam mainīgajam var būt vērtības X = r, r + 1, r + 2,... Šis izlases mainīgais ir neskaitāmi bezgalīgs, jo tas varētu aizņemt patvaļīgi ilgu laiku, pirms mēs iegūstam r panākumi.

Lai palīdzētu izprast negatīvā divdomīgo sadalījumu, ir vērts apsvērt piemēru. Pieņemsim, ka mēs saliekam taisnīgu monētu un uzdodam jautājumu: “Cik liela ir varbūtība, ka pirmajā dabūjam trīs galvas X monēta uzslīd? "Šī ir situācija, kas prasa negatīvu divdomīgo sadalījumu.

Monētas atlokiem ir divi iespējamie iznākumi, veiksmes varbūtība ir nemainīga 1/2, un izmēģinājumi ir savstarpēji neatkarīgi. Mēs lūdzam iespēju iegūt pirmās trīs galvas pēc X monēta atlok. Tādējādi mums ir vismaz trīs reizes jāpārvelk monēta. Pēc tam mēs turpinām uzsist, līdz parādās trešā galva.

Lai aprēķinātu varbūtības, kas saistītas ar negatīvu binomālo sadalījumu, mums ir vajadzīga vēl nedaudz informācijas. Mums jāzina varbūtības masas funkcija.

Varbūtības masas funkciju negatīva binomija sadalījumam var izveidot ar nelielu pārdomu. Katrā izmēģinājumā ir panākumu varbūtība, ko piešķir lpp. Tā kā ir tikai divi iespējamie iznākumi, tas nozīmē, ka neveiksmes varbūtība ir nemainīga (1 - lpp ).

rth panākumiem ir jānotiek xth un pēdējais izmēģinājums. Iepriekšējais x - 1 izmēģinājumā jābūt precīzi norādītam r - 1 panākumi. To, cik daudz tā var notikt, norāda kombināciju skaits:

C (x - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Papildus tam mums ir neatkarīgi notikumi, un tāpēc mēs varam reizināt savas varbūtības kopā. Apkopojot visu, mēs iegūstam varbūtības masas funkciju

f(x) = C (x - 1, r -1) lpp^r(1 - lpp)^{x - r}.

Tagad mēs varam saprast, kāpēc šim nejaušajam mainīgajam ir negatīvs binomālais sadalījums. Iepriekš sastopamo kombināciju skaitu var uzrakstīt atšķirīgi, iestatot x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. . (- r - (k + 1) / k !.

Šeit mēs redzam negatīva binomija koeficienta parādīšanos, ko izmanto, ja binomālo izteiksmi (a + b) paaugstina līdz negatīvai jaudai.

Ir svarīgi zināt sadalījuma vidējo lielumu, jo tas ir viens no veidiem, kā apzīmēt sadalījuma centru. Šāda veida izlases veida mainīgo lielumu nosaka ar tā paredzamo vērtību un tas ir vienāds ar r / lpp. Mēs to varam rūpīgi pierādīt, izmantojot momentu ģenerējošā funkcija par šo izplatīšanu.

Intuīcija mūs virza arī šajā izpausmē. Pieņemsim, ka mēs veicam virkni izmēģinājumu n₁ līdz iegūstam r panākumi. Un tad mēs to darām vēlreiz, tikai šoreiz tas vajadzīgs n₂ izmēģinājumi. Mēs to turpinām atkal un atkal, līdz mums ir liels skaits izmēģinājumu grupu N = n₁ + n₂ +... +n_k.

Katrs no šiem k izmēģinājumi satur r panākumi, un tāpēc mums ir pavisam kr panākumi. Ja N ir liels, tad mēs sagaidīsim, ka redzēsim Np panākumi. Tādējādi mēs tos pielīdzinām, un mums ir kr = Np.

Mēs izdarīsim nedaudz algebra un to atradīsim N / k = r / p. Daļa šī vienādojuma kreisajā pusē ir vidējais izmēģinājumu skaits, kas vajadzīgs katram no mūsu k izmēģinājumu grupas. Citiem vārdiem sakot, tas ir paredzamais reižu skaits eksperimenta veikšanai, lai mums būtu kopā r panākumi. Tas ir tieši tas, ko mēs vēlamies atrast. Mēs redzam, ka tas ir vienāds ar formulu r / p.

Negatīvā binomālā sadalījuma dispersiju var arī aprēķināt, izmantojot momenta ģenerēšanas funkciju. Kad mēs to darām, mēs redzam, ka šī sadalījuma dispersija tiek aprēķināta pēc šādas formulas:

r (1 - lpp)/lpp²

Šāda veida izlases veida mainīgo lielumu ģenerējošā funkcija ir diezgan sarežģīta. Atgādiniet, ka momentu ģenerējošā funkcija ir definēta kā paredzamā vērtība E [e^tX]. Izmantojot šo definīciju ar mūsu varbūtības masas funkciju, mums ir:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] e^tXlpp^r(1 - lpp)^{x - r}

Pēc dažām algebrām tas kļūst par M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Iepriekš mēs redzējām, kā negatīvais binomālais sadalījums daudzējādā ziņā ir līdzīgs binomija sadalījumam. Papildus šim savienojumam negatīvais binomālais sadalījums ir vispārīgāka ģeometriskā sadalījuma versija.

Ģeometrisks nejaušs mainīgais X saskaita nepieciešamo izmēģinājumu skaitu pirms pirmo panākumu gūšanas. Ir viegli redzēt, ka tas ir tieši negatīvs binomālais sadalījums, bet ar r vienāds ar vienu.

Pastāv arī citi negatīvā binomālā sadalījuma formulējumi. Dažas mācību grāmatas definē X līdz izmēģinājumu skaitam līdz r notiek neveiksmes.

Mēs apskatīsim problēmas piemēru, lai redzētu, kā strādāt ar negatīvo binomālo sadalījumu. Pieņemsim, ka basketbolists ir 80% metienu bez soda metieniem. Turklāt pieņemsim, ka viena brīva metiena veikšana nav atkarīga no nākamā izdarīšanas. Kāda ir varbūtība, ka šim spēlētājam astotais grozs tiek veikts uz desmito brīvo metienu?

Mēs redzam, ka mums ir iestatījums negatīvajam binomālā sadalījumam. Pastāvīga veiksmes varbūtība ir 0,8, un tātad neveiksmes varbūtība ir 0,2. Mēs vēlamies noteikt X = 10 varbūtību, ja r = 8.

Mēs pievienojam šīs vērtības mūsu varbūtības masas funkcijai:

f (10) = C (10 -1, 8 - 1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², kas ir aptuveni 24%.

Tad mēs varētu pajautāt, kāds ir vidējais metienu skaits, pirms šāds spēlētājs izdara astoņus no tiem. Tā kā paredzamā vērtība ir 8 / 0,8 = 10, tas ir šāvienu skaits.