Kāda ir eksponenciālā sadalījuma slīpums?

Bieži parametriem priekš varbūtības sadalījums iekļauj vidējo un standartnovirzi. Vidējais rādītājs parāda centra izmērījumu, un standartnovirze norāda, cik liels ir sadalījums. Papildus šiem labi zināmajiem parametriem ir arī citi, kas pievērš uzmanību citām iezīmēm, nevis izplatībai vai centram. Viens no šādiem mērījumiem ir šķībums. Viltība dod iespēju sadalījuma asimetrijai pievienot skaitlisku vērtību.

Viens svarīgs sadalījums, kuru mēs pārbaudīsim, ir eksponenciālais sadalījums. Mēs redzēsim, kā pierādīt, ka eksponenciālā sadalījuma šķībs ir 2.

Sākumā norādām varbūtības blīvuma funkciju eksponenciālajam sadalījumam. Katram no šiem sadalījumiem ir parametrs, kas ir saistīts ar parametru no saistītā Puasona process. Mēs apzīmējam šo sadalījumu kā Exp (A), kur A ir parametrs. Varbūtības blīvuma funkcija šim sadalījumam ir:

f(x) = e^{-x/ A}/ A, kur x ir nenegatīva.

Šeit e ir matemātiskā nemainīgs e tas ir aptuveni 2.718281828. Eksponenciālā sadalījuma Exp (A) vidējā un standartnovirze ir saistīta ar parametru A. Faktiski gan vidējā, gan standartnovirze ir vienāda ar A.

Viltību nosaka izteiksme, kas saistīta ar trešo momentu par vidējo. Šī izteiksme ir paredzamā vērtība:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Mēs aizstājam μ un σ ar A, un rezultāts ir tāds, ka šķībs ir E [X³] / A³ – 4.

Atliek tikai aprēķināt trešo brīdis par izcelsmi. Šim nolūkam mums jāintegrē:

∫^∞₀x³f(x) dx.

Šim integrālam ir bezgalība attiecībā uz vienu no tā ierobežojumiem. Tādējādi to var novērtēt kā I tipa nepareizu integrālu. Mums arī jānosaka, kādu integrācijas paņēmienu izmantot. Tā kā integrācijas funkcija ir polinoma un eksponenciālās funkcijas produkts, mums tā būs jāizmanto integrācija pa daļām. Šī integrācijas metode tiek piemērota vairākas reizes. Rezultāts ir šāds:

E [X³] = 6A³

Pēc tam mēs to apvienojam ar iepriekšējo vienādojumu par šķībumu. Mēs redzam, ka šķībs ir 6 - 4 = 2.

Ir svarīgi atzīmēt, ka rezultāts nav atkarīgs no konkrētā eksponenciālā sadalījuma, ar kuru mēs sākam. Eksponenciālā sadalījuma šķībums nav atkarīgs no parametra A vērtības.

Turklāt mēs redzam, ka rezultāts ir pozitīvs šķībs. Tas nozīmē, ka sadalījums ir šķībs pa labi. Tam nevajadzētu būt pārsteigumam, domājot par varbūtības blīvuma funkcijas grafika formu. Visiem šādiem sadalījumiem ir y-pārtvērums kā 1 // theta un aste, kas iet uz grafika labo malu, kas atbilst mainīgā lieluma vērtībām x.

Protams, jāpiemin arī tas, ka ir arī cits veids, kā aprēķināt šķībumu. Mēs varam izmantot momenta ģenerēšanas funkciju eksponenciālajam sadalījumam. Pirmais atvasinājums momentu ģenerējošā funkcija novērtēts ar 0, dod mums E [X]. Tāpat momentu ģenerēšanas funkcijas trešais atvasinājums, novērtējot ar 0, dod mums E (X³].