Ja jūs lūgtu kādam nosaukt savu iecienīto matemātisko konstanti, jūs, iespējams, iegūtu kaut ko smieklīgu. Pēc kāda laika kāds var brīvprātīgi rīkoties labākā konstante ir pi. Bet šī nav vienīgā svarīgā matemātiskā konstante. Tuva sekunde, ja ne, ir pretendents uz visuresošākās konstantes vainagu e. Šis skaitlis tiek parādīts aprēķinos, skaitļu teorijā, varbūtībā un statistika. Mēs pārbaudīsim dažas šī ievērojamā skaitļa iezīmes un redzēsim, kādi sakari tam ir ar statistiku un varbūtību.
Vērtība e
Tāpat kā pi, e ir iracionāls reālais skaitlis. Tas nozīmē, ka to nevar uzrakstīt kā frakciju un ka tā decimālā izplešanās turpināsies mūžīgi, neatkārtojoties skaitļu blokam, kas nepārtraukti atkārtojas. Numurs e ir arī pārpasaulīgs, kas nozīmē, ka tā nav polinoma, kas nav nulle, sakne ar racionāliem koeficientiem. Pirmās piecdesmit zīmes aiz komata norāda e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definīcija e
Numurs e atklāja cilvēki, kuri bija ieinteresēti saliktās interesēs. Šādā procentu formā pamatsumma nopelna procentus, un tad radītie procenti nopelna procentus par sevi. Tika novērots, ka, jo lielāks biežums ir periodisko periodu apvienošana gadā, jo lielāks ir procentu ienākumu līmenis. Piemēram, mēs varētu aplūkot interešu apvienošanu:
- Reizi gadā vai reizi gadā
- Pusgadu vai divas reizes gadā
- Mēnesi jeb 12 reizes gadā
- Katru dienu jeb 365 reizes gadā
Kopējā procentu summa palielinās par katru no šiem gadījumiem.
Radās jautājums, cik daudz naudas iespējams nopelnīt procentos. Lai mēģinātu nopelnīt vēl vairāk naudas, teorētiski mēs varētu palielināt salikšanas periodu skaitu līdz tik lielam skaitam, cik mēs vēlējāmies. Šī pieauguma gala rezultāts ir tāds, ka mēs uzskatām, ka interese tiek nepārtraukti papildināta.
Kamēr radītā interese palielinās, tā notiek ļoti lēni. Kopējā kontā esošā naudas summa faktiski stabilizējas, un vērtība, pie kuras tā tiek stabilizēta, ir e. Lai to izteiktu, izmantojot matemātisku formulu, mēs sakām, ka robeža kā n pieaugums par (1 + 1 /n)n = e.
Lietojumi e
Numurs e parādās visā matemātikā. Šeit ir dažas vietas, kur tas parādās:
- Tas ir dabiskā logaritma pamats. Kopš Napiers izgudroja logaritmus, e dažreiz tiek saukta par Napiera konstantu.
- Aprēķinā eksponenciālā funkcija ex tai ir unikāla īpašība būt par savu atvasinājumu.
- Izteiksmes, kurās iesaistīts ex un e-x apvienot, veidojot hiperboliskā sinusa un hiperboliskā kosinusa funkcijas.
- Pateicoties Eulera darbam, mēs zinām, ka matemātikas pamatkonstantes ir savstarpēji saistītas ar formulu eiΠ + 1 = 0, kur i ir iedomāts skaitlis, kas ir negatīvās kvadrātsakne.
- Numurs e parādās dažādās formulās visā matemātikā, it īpaši skaitļu teorijas jomā.
Vērtība e statistikā
Cipara nozīme e neaprobežojas tikai ar dažām matemātikas jomām. Ir arī vairāki numura lietojumi e statistikā un varbūtība. Daži no tiem ir šādi:
- Numurs e rada izskatu gamma funkcijas formula.
- Formulas standarta normālais sadalījums ietver e uz negatīvu spēku. Šajā formulā ietilpst arī pi.
- Daudzi citi izplatījumi ir saistīti ar numura izmantošanu e. Piemēram, t-sadalījuma, gamma-sadalījuma un chi-kvadrāta sadalījuma formulas satur visu skaitli e.