Ir vairākas matemātiskās īpašības, kuras tiek izmantotas statistika un varbūtība; divas no tām, komutācijas un asociatīvās īpašības, parasti ir saistītas ar pamata aritmētiku veseli skaitļi, racionāli un reālie skaitļi, lai arī viņi parādās arī progresīvākā matemātikā.
Šīs īpašības - komutācijas un asociatīvās - ir ļoti līdzīgas un viegli sajaucamas. Šī iemesla dēļ ir svarīgi saprast atšķirību starp abiem.
Komutējošais īpašums attiecas uz noteiktu matemātisko operāciju secību. Binārai operācijai - kurai ir tikai divi elementi - to var parādīt ar vienādojumu a + b = b + a. Operācija ir komutējoša, jo elementu secība neietekmē operācijas rezultātu. No otras puses, asociatīvais īpašums attiecas uz elementu grupēšanu operācijā. To var parādīt ar vienādojumu (a + b) + c = a + (b + c). Elementu grupēšana, kā norādīts iekavās, neietekmē vienādojuma rezultātu. Ņemiet vērā: kad tiek izmantota komutācijas īpašība, vienādojuma elementi ir pārkārtots. Ja tiek izmantots asociatīvais īpašums, elementi ir tikai pārgrupēts.
Komutācijas īpašums
Vienkārši sakot, komutācijas īpašība nosaka, ka vienādojuma faktorus var brīvi pārkārtot, neietekmējot vienādojuma rezultātu. Komutējošais īpašums tāpēc attiecas uz operāciju pasūtīšanu, ieskaitot reālo skaitļu, veselu skaitļu un racionālu skaitļu pievienošanu un reizināšanu.
Piemēram, ciparus 2, 3 un 5 var saskaitīt jebkurā secībā, neietekmējot gala rezultātu:
2 + 3 + 5 = 10
3 + 2 + 5 = 10
5 + 3 + 2 = 10
Skaitļus var arī reizināt jebkurā secībā, neietekmējot gala rezultātu:
2 x 3 x 5 = 30
3 x 2 x 5 = 30
5 x 3 x 2 = 30
Atņemšana un dalīšana tomēr nav operācijas, kuras var mainīt, jo operāciju secība ir svarīga. Trīs iepriekš minētie skaitļi nevar, piemēram, atņemt jebkurā secībā, neietekmējot galīgo vērtību:
2 - 3 - 5 = -6
3 - 5 - 2 = -4
5 - 3 - 2 = 0
Rezultātā komutācijas īpašību var izteikt, izmantojot vienādojumus a + b = b + a un a x b = b x a. Neatkarīgi no vērtību secības šajos vienādojumos, rezultāti vienmēr būs vienādi.
Asociētais īpašums
Asociatīvā īpašība nosaka, ka faktoru grupēšanu operācijā var mainīt, neietekmējot vienādojuma rezultātu. To var izteikt, izmantojot vienādojumu a + (b + c) = (a + b) + c. Neatkarīgi no tā, kurš vienādojuma vērtību pāris tiek pievienots pirmais, rezultāts būs vienāds.
Piemēram, ņem vienādojumu 2 + 3 + 5. Neatkarīgi no tā, kā vērtības tiek grupētas, vienādojuma rezultāts būs 10:
(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10
2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10
Tāpat kā ar komutācijas īpašību, arī asociatīvo darbību piemēri ietver reālo skaitļu, veselo skaitļu un racionālo skaitļu pievienošanu un reizināšanu. Tomēr atšķirībā no komutācijas īpašībām asociatīvo īpašību var attiecināt arī uz matricas reizināšanu un funkciju sastādīšanu.
Tāpat kā komutācijas īpašību vienādojumi, arī asociatīvie īpašuma vienādojumi nevar saturēt reālo skaitļu atņemšanu. Ņem, piemēram, aritmētisko problēmu (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; ja mainām iekavu grupējumu, mums ir 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, kas maina vienādojuma gala rezultātu.
Kāda ir atšķirība?
Mēs varam pateikt atšķirību starp asociatīvo un komutācijas īpašību, uzdodot jautājumu: “Vai mēs mainām kārtību? elementus, vai mēs mainām elementu grupēšanu? ” Ja elementi tiek pārkārtoti, tad komutācijas īpašums attiecas. Ja elementi tiek tikai pārgrupēti, piemēro asociatīvo īpašumu.
Tomēr ņemiet vērā, ka iekavu klātbūtne vien nenozīmē, ka tiek piemērots asociatīvais īpašums. Piemēram:
(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)
Šis vienādojums ir reālo skaitļu pievienošanas komutācijas īpašības piemērs. Tomēr, ja mēs pievēršam īpašu uzmanību vienādojumam, mēs redzam, ka ir mainīta tikai elementu secība, nevis grupēšana. Lai piemērotu asociatīvo īpašumu, mums būs jāpārkārto arī elementu grupēšana:
(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3