Kādas ir eksponenciālās izaugsmes funkcijas?

Eksponenciālās funkcijas stāsta par sprādzienbīstamām izmaiņām. Divu veidu eksponenciālās funkcijas ir eksponenciālā izaugsme un eksponenciālā sabrukšana. Četri mainīgie (izmaiņas procentos, laiks, summa laika perioda sākumā un summa perioda beigās) spēlē lomu eksponenciālajās funkcijās. Tālāk ir aprakstīta eksponenciālās izaugsmes funkciju izmantošana prognožu veikšanai.

Eksponenciāls pieaugums ir izmaiņas, kas notiek, kad sākotnējā summa tiek palielināta par nemainīgu likmi noteiktā laika posmā

Eksponenciālās izaugsmes pielietojumi reālajā dzīvē:

• Mājas cenu vērtības
• Investīciju vērtības
• Palielināta dalība populārajā sociālo tīklu vietnē

Edloe and Co. paļaujas uz mutiski reklamēšanu, kas ir sākotnējais sociālais tīkls. Katrs piecdesmit pircējs stāstīja pieciem cilvēkiem, un tad katrs no šiem jaunajiem pircējiem stāstīja vēl pieciem cilvēkiem utt. Vadītājs reģistrēja veikalu pircēju skaita pieaugumu.

• 0. nedēļa: 50 pircēju
• 1. nedēļa: 250 pircēju
• 2. nedēļa: 1250 pircēji
• 3. nedēļa: 6 250 pircēji
• 4. nedēļa: 31 250 pircēju

Pirmkārt, kā jūs zināt, ka šie dati ir eksponenciāls pieaugums? Uzdodiet sev divus jautājumus.

1. Vai vērtības pieaug? Jā
2. Vai vērtības parāda pastāvīgu procentuālo pieaugumu? Jā.

Procentuālais pieaugums: (jaunāks - vecāks) / (vecāks) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Pārbaudiet, vai procentuālais pieaugums saglabājas visu mēnesi:

Procentuālais pieaugums: (jaunāks - vecāks) / (vecāks) = (1 250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
Procentuālais pieaugums: (jaunāks - vecāks) / (vecāks) = (6 250 - 1 250) / 1 250 = 4,00 = 400%

Uzmanīgi - nejauciet eksponenciālo un lineāro izaugsmi.

Šis ir lineārais pieaugums:

• 1. nedēļa: 50 pircēji
• 2. nedēļa: 50 pircēji
• 3. nedēļa: 50 pircēji
• 4. nedēļa: 50 pircēji

Piezīme: Lineārais pieaugums nozīmē nemainīgu klientu skaitu (50 pircēji nedēļā); eksponenciāls pieaugums nozīmē pastāvīgu klientu skaita pieaugumu procentos (400%).

Šeit ir eksponenciāla izaugsmes funkcija:

y = a (1 + b)^x

• y: Galīgā summa, kas paliek noteiktā laika posmā
• a: Sākotnējā summa
• x: Laiks
• augšanas faktors ir (1 + b).
• Mainīgais, b, ir procentuālās izmaiņas procentos aiz komata.

Aizpildiet tukšās vietas:

• a = 50 pircēji
• b = 4.00

y = 50(1 + 4)^x

Piezīme: Neaizpildiet vērtības x un y. Vērtības x un y mainīsies visā funkcijā, bet sākotnējā summa un procentuālās izmaiņas nemainīsies.

Pieņemsim, ka lejupslīde, galvenā pircēju pamudināšana uz veikalu, turpinās 24 nedēļas. Cik nedēļas pircēju būs veikalā 8 laikā^th nedēļā?

Uzmanieties, divkāršojiet pircēju skaitu 4. nedēļā (31 250 * 2 = 62 500) un domājiet, ka tā ir pareizā atbilde. Atcerieties, ka šis raksts ir par eksponenciālu, nevis lineāru izaugsmi.

Izmantojiet operāciju secību, lai vienkāršotu.

y = 50(1 + 4)^x

y = 50(1 + 4)⁸

y = 50(5)⁸ (Iekavas)

y = 50 (390 625) (eksponents)

y = 19,531,250 (reizināt)

19 531 250 pircēji

Pirms lejupslīdes sākuma veikala mēneša ieņēmumi svārstījās ap 800 000 USD. Veikals ieņēmumi ir kopējā dolāru summa, ko klienti tērē veikalā par precēm un pakalpojumiem.

Edloe and Co ieņēmumi

• Pirms lejupslīdes: 800 000 USD
• 1 mēnesis pēc lejupslīdes: 880 000 USD
• 2 mēneši pēc recesijas: USD 968 000
• 3 mēneši pēc lejupslīdes: 1 171 280 USD
• 4 mēneši pēc lejupslīdes: 1 288 408 USD

Izmantojiet informāciju par Edloe un Co ieņēmumiem, lai aizpildītu 1. – 7.

1. Kādi ir sākotnējie ieņēmumi?
2. Kāds ir izaugsmes faktors?
3. Kā notiek šī datu modeļa eksponenciālā izaugsme?
4. Uzrakstiet eksponenciālo funkciju, kas apraksta šos datus.
5. Uzrakstiet funkciju ieņēmumu prognozēšanai piektajā mēnesī pēc lejupslīdes sākuma.
6. Kādi ir ieņēmumi piektajā mēnesī pēc lejupslīde?
7. Pieņemsim, ka šīs eksponenciālās funkcijas domēns ir 16 mēneši. Citiem vārdiem sakot, pieņemsim, ka lejupslīde ilgs 16 mēnešus. Kurā brīdī ieņēmumi pārsniegs 3 miljonus dolāru?