Eksponenciāla samazināšanās un procentuālās izmaiņas

Ja sākotnējā summa kādā laika posmā tiek samazināta par nemainīgu likmi, eksponenciālā sabrukšana notiek. Šis piemērs parāda, kā strādāt ar nemainīgu likmes problēmu vai aprēķināt samazinājuma koeficientu. Sabrukšanas faktora izpratnes atslēga ir mācīšanās procentu izmaiņas.

Šī ir eksponenciālā samazinājuma funkcija:

y = a (1 – b)^x

kur:

• "y" ir galīgā summa, kas paliek noteikta laika posmā pēc sabrukšanas
• "a" ir sākotnējā summa
• "x" apzīmē laiku
• Sabrukšanas koeficients ir (1 – b).
• Mainīgais lielums b ir decimāldaļas izmaiņas procentos.

Tā kā tas ir eksponenciāls samazinājuma faktors, šajā rakstā uzmanība tiek koncentrēta uz samazinājumu procentos.

Trīs piemēri palīdz parādīt, kā atrast samazinājumu procentos:

Grieķija piedzīvo milzīgu finanšu slodzi, jo tai ir parādā vairāk naudas, nekā tā var atmaksāt. Rezultātā Grieķijas valdība cenšas samazināt iztērēto summu. Iedomājieties, ka eksperts ir teicis Grieķijas vadītājiem, ka viņiem ir jāsamazina izdevumi par 20 procentiem.

• Kāds ir Grieķijas izdevumu samazinājums procentos, b, b? 20 procenti
• Kāds ir Grieķijas tēriņu samazināšanas faktors?

Sabrukšanas faktors:

(1 - b) = (1 - .20) = (.80)

Grieķijai samazinoties valdības izdevumi, eksperti prognozē, ka valsts parāds samazināsies. Iedomājieties, vai valsts gada parādu varētu modelēt, izmantojot šo funkciju:

y = 500 (1–30)^x

kur “y” nozīmē miljardus dolāru, un “x” norāda gadu skaitu kopš 2009. gada.

• Kāds ir Grieķijas gada parāda procentuālais samazinājums (b)? 30 procenti
• Kāds ir Grieķijas gada parāda samazināšanās faktors?

Sabrukšanas faktors:

(1 - b) = (1 - .30) = .70

Pēc tam, kad Grieķija samazinās valdības pakalpojumus un algas, iedomājieties, ka šie dati sniedz informāciju par Grieķijas prognozēto gada parādu.

• 2009. gads: 500 miljardi USD
• 2010. gads: 475 miljardi USD
• 2011. gads: 451,25 miljardi USD
• 2012. gads: USD 428,69 miljardi

A. Izvēlieties divus gadus pēc kārtas, lai salīdzinātu: 2009. gads: 500 miljardi USD; 2010. gads: 475 miljardi USD

B. Izmantojiet šo formulu:

Procentuālais samazinājums = (vecāki - jaunāki) / vecāki:

(500 miljardi - 475 miljardi) / 500 miljardi = .05 vai 5 procenti

C. Pārbaudiet konsekvenci. Izvēlieties divus citus gadus pēc kārtas: 2011. gads: 451,25 miljardi USD; 2012. gads: USD 428,69 miljardi

(451,25 - 428,69) / 451,25 ir aptuveni .05 vai 5 procenti

Sāls ir amerikāņu garšvielu bagāžnieku mirdzums. Glitter pārveido celtniecības papīru un neapstrādātus zīmējumus lolotās Mātes dienas kartēs; sāls citādi mīlīgos ēdienus pārvērš nacionālajā izlasē. Sāls pārpilnība kartupeļu čipsos, popkornā un katla pīrāgā aizrauj garšas kārpiņas.

Diemžēl pārāk daudz aromāta var sabojāt labu lietu. Pieaugušajiem, kam ir smagas rokas, liekā sāls var izraisīt paaugstinātu asinsspiedienu, sirdslēkmes un insultu. Nesen kāds likumdevējs paziņoja par tiesību aktiem, kas piespiedīs ASV pilsoņus un iedzīvotājus samazināt patērēto sāli. Kā būtu, ja tiktu pieņemts sāls samazināšanas likums, un amerikāņi sāktu patērēt mazāk minerālu?

Pieņemsim, ka katru gadu restorāniem tika uzdots samazināt nātrija līmeni par 2,5 procentiem gadā, sākot ar 2017. gadu. Paredzamo sirdslēkmes samazināšanos var raksturot ar šādu funkciju:

y = 10 000 000 (1–10)^x

kur "y" apzīmē sirdslēkmju skaitu gadā pēc "x" gadiem.

Acīmredzot tiesību akti būtu tā sāls vērti. Amerikāņus nomocīs mazāk insultu. Šeit ir izdomātas prognozes ikgadējiem insultiem Amerikā:

• 2016. gads: 7 000 000 insultu
• 2017. gads: 6 650 000 insultu
• 2018. gads: 6 317 500 insultu
• 2019. gads: 6 001 625 insulti

Kāda ir piespiedu procentuālā sāls patēriņa samazināšanās restorānos?

Atbilde: 2,5 procenti

Paskaidrojums: Paredzams, ka samazināsies trīs dažādas lietas - nātrija līmenis, sirdslēkmes un insulti. Katru gadu restorāniem tika uzdots samazināt nātrija līmeni par 2,5 procentiem gadā, sākot ar 2017. gadu.

Kāds ir obligātais sāls patēriņa samazināšanas faktors restorānos?

Atbilde: .975

Paskaidrojums: Sabrukšanas faktors:

(1 - b) = (1 - .025) = 0,975

Balstoties uz prognozēm, kāds būtu procentuālais samazinājums gada sirdslēkmēm?

Atbilde: 10 procenti

Paskaidrojums: Paredzamo sirdslēkmes samazināšanos var raksturot ar šādu funkciju:

y = 10 000 000 (1 - .10) x

kur "y" apzīmē sirdslēkmju skaitu gadā pēc "x" gadiem.

Balstoties uz prognozēm, kāds būs ikgadējo sirdslēkmju samazināšanas faktors?

Atbilde: .90

Paskaidrojums: Sabrukšanas faktors:

(1 - b) = (1 - .10) = 0,90

Balstoties uz šīm izdomātajām prognozēm, kāds būs procentuālais samazinājums triekām Amerikā?

Atbilde: 5 procenti

Paskaidrojums:

A. Izvēlieties datus divus gadus pēc kārtas: 2016: 7 000 000 insultu; 2017. gads: 6 650 000 insultu

B. Izmantojiet šo formulu: Procentuālais samazinājums = (vecāks - jaunāks) / vecāks

(7 000 000 - 6 650 000) / 7 000 000 = .05 vai 5 procenti

C. Pārbaudiet konsekvenci un izvēlieties datus citam secīgu gadu kopumam: 2018: 6 317 500 insultu; 2019. gads: 6 001 625 insulti

Procentuālais samazinājums = (vecāks - jaunāks) / vecāks

(6 317 500 - 6 001 625) / 6 001 625 aptuveni .05 vai 5 procenti

Kāds būs triecienu samazināšanas faktors, balstoties uz šīm izdomātajām projekcijām Amerikā?

Atbilde: .95

Paskaidrojums: Sabrukšanas faktors:

(1 - b) = (1 - .05) = .95

Rediģēja Anne Marie Helmenstine, Ph.