Viens veids, kā aprēķināt a vidējo lielumu un dispersiju varbūtības sadalījums ir atrast paredzamās vērtības izlases mainīgo lielumu X un X2. Mēs izmantojam apzīmējumu E(X) un E(X2), lai apzīmētu šīs paredzamās vērtības. Kopumā ir grūti aprēķināt E(X) un E(X2) tieši. Lai izvairītos no šīs grūtības, mēs izmantojam dažas modernākas matemātiskās teorijas un aprēķinus. Gala rezultāts ir tāds, kas atvieglo mūsu aprēķinus.
Šīs problēmas stratēģija ir definēt jaunu funkciju, jaunu mainīgo t to sauc par momentu ģenerējošu funkciju. Šī funkcija ļauj mums aprēķināt momentus, vienkārši ņemot atvasinājumus.
Pieņēmumi
Pirms momenta ģenerēšanas funkcijas noteikšanas mēs sākam, nosakot posmu ar apzīmējumiem un definīcijām. Mēs ļāvāmies X būt a diskrēts izlases mainīgais. Šim nejaušajam mainīgajam ir varbūtības masas funkcija f(x). Parauga vieta, ar kuru mēs strādājam, tiks apzīmēta ar S.
Tā vietā, lai aprēķinātu paredzamo vērtību X, mēs vēlamies aprēķināt ar eksponenciālo funkciju paredzamo vērtību X. Ja ir pozitīvs
reālais skaitlisr tāds, ka E(etX) pastāv un ir ierobežots visiem t intervālā [-r, r], tad mēs varam definēt momenta ģenerēšanas funkciju X.Definīcija
Momentu ģenerējošā funkcija ir iepriekšējās eksponenciālās funkcijas paredzamā vērtība. Citiem vārdiem sakot, mēs sakām, ka momentu ģenerējošā funkcija X piešķir:
M(t) = E(etX)
Šī paredzamā vērtība ir formula Σ etxf (x), kur summēšana tiek pārņemta visā x iekš parauga telpaS. Tā var būt ierobežota vai bezgalīga summa atkarībā no izmantojamās parauga vietas.
Īpašības
Momentu ģenerējošajai funkcijai ir daudz funkciju, kas, iespējams, un matemātiskajā statistikā savieno ar citām tēmām. Dažas no vissvarīgākajām funkcijām ir šādas:
- Koeficients etb ir varbūtība, ka X = b.
- Brīdi ģenerējošām funkcijām piemīt unikalitātes īpašība. Ja momentu ģenerējošās funkcijas diviem nejaušiem mainīgajiem sakrīt, tad varbūtības masas funkcijām jābūt vienādām. Citiem vārdiem sakot, nejaušie mainīgie raksturo to pašu varbūtības sadalījumu.
- Momentu ģenerēšanas funkcijas var izmantot, lai aprēķinātu X.
Momentu aprēķināšana
Pēdējais saraksta elements iepriekš izskaidro momentu ģenerējošo funkciju nosaukumus un arī to noderīgumu. Daži uzlaboti matemātika saka, ka apstākļos, kurus mēs izklāstījām, jebkuras funkcijas kārtas atvasinājums M (t) pastāv, kad t = 0. Turklāt šajā gadījumā mēs varam mainīt summēšanas un diferencēšanas kārtību attiecībā uz t lai iegūtu šādas formulas (visi summējumi pārsniedz vērtības x parauga telpā S):
- M’(t) = Σ xetxf (x)
- M’’(t) = Σ x2etxf (x)
- M’’’(t) = Σ x3etxf (x)
- M(n)’(t) = Σ xnetxf (x)
Ja mēs noteikti t = 0 iepriekšminētajās formulās, tad etx termiņš kļūst e0 = 1. Tādējādi iegūstam formulas nejaušā mainīgā momentiem X:
- M’(0) = E(X)
- M’’(0) = E(X2)
- M’’’(0) = E(X3)
- M(n)(0) = E(Xn)
Tas nozīmē, ka, ja momenta ģenerēšanas funkcija pastāv kādam konkrētam nejaušam mainīgajam, tad mēs varam atrast tā vidējo lielumu un dispersiju momentu ģenerējošās funkcijas atvasinājumu izteiksmē. Tas nozīmē M”(0), un dispersija ir M’’(0) – [M’(0)]2.
Kopsavilkums
Rezumējot, mums nācās ienākt diezgan jaudīgā matemātikā, tāpēc dažas lietas tika pārspīlētas. Lai gan iepriekš minētajam ir jāizmanto aprēķins, galu galā mūsu matemātiskais darbs parasti ir vieglāks, nekā momentus aprēķinot tieši no definīcijas.