Kā matemātikā izmantot “ja un tikai tad”

Lasot statistiku un matemātiku, viena frāze, kas regulāri parādās, ir “ja un tikai tad”. Šī frāze īpaši parādās matemātisko teorēmu vai pierādījumu izteikumos. Bet ko tieši šis apgalvojums nozīmē?

Lai saprastu “ja un tikai tad”, mums vispirms jāzina, ko nozīmē nosacīts paziņojums. Nosacījuma paziņojums ir tāds, kas veidojas no diviem citiem paziņojumiem, kurus mēs apzīmēsim ar P un Q. Lai izveidotu nosacītu paziņojumu, mēs varētu teikt “ja P, tad Q”.

Šie ir šāda veida paziņojumu piemēri:

• Ja ārā līst, tad pastaigā paņemu lietussargu.
• Ja smagi studēsi, tad nopelnīsi A.
• Ja n ir dalāms ar 4, tad n ir dalāms ar 2.

Trīs citi paziņojumi ir saistīti ar jebkuru nosacītu paziņojumu. Tos sauc par pretēji, apgriezti un pretēji pozitīvi. Mēs veidojam šos apgalvojumus, mainot P un Q secību no sākotnējiem nosacītajiem un ievietojot vārdu “nē” apgrieztajam un pretpozitīvajam.

Šeit mums jāapsver tikai pretēji. Šis apgalvojums ir iegūts no oriģināla, sakot “ja Q, tad P”. Pieņemsim, ka mēs sākam ar nosacījumu “ja ārā līst, tad es ņem manā lietussargu manā pastaigā. ” Šī paziņojuma pretstats ir “ja es pastaigā paņemu lietussargu, tad līst ārpusē. ”

Mums tikai jāapsver šis piemērs, lai saprastu, ka sākotnējais nosacītais loģiski nav tāds pats kā tā pretstats. Šo divu apgalvojumu formu sajaukšana ir zināma kā pretēja kļūda. Staigāt varētu lietussargu, kaut arī ārā varbūt nelīst.

Citā piemērā mēs uzskatām nosacījumu “Ja skaitlis ir dalāms ar 4, tad tas ir dalāms ar 2.” Šis apgalvojums nepārprotami ir taisnība. Tomēr šī apgalvojuma sarunvaloda “Ja skaitlis ir dalāms ar 2, tad tas ir dalāms ar 4”, ir nepatiess. Mums jāskata tikai tāds skaitlis kā 6. Lai gan 2 dala šo skaitli, 4 to nedara. Kaut arī sākotnējais paziņojums ir patiess, tā pretējs nav.

Tādējādi mēs nonākam pie divu nosacījumu paziņojuma, ko sauc arī par paziņojumu “ja un tikai tad”. Dažos nosacītos izteikumos ir arī patiesas sarunas. Šajā gadījumā mēs varam izveidot to, kas ir pazīstams kā divu nosacījumu paziņojums. Biccondition paziņojumam ir šāda forma:

"Ja P, tad Q, un, ja Q, tad P."

Kopš šī laika būvniecība ir nedaudz neveikli, it īpaši, ja P un Q ir viņu pašu loģiski apgalvojumi, mēs vienkāršojam bicondition paziņojumu, izmantojot frāzi "ja un tikai tad." Tā vietā, lai teiktu "ja P, tad Q, un, ja Q, tad P", mēs drīzāk sakām "P, ja un tikai tad, ja Q". Šī konstrukcija dažus novērš atlaišana.

Frāzes “ja un tikai tad”, kas ietver statistiku, piemēru, apskatiet tikai faktu par izlases standartnovirzi. Datu kopas standarta novirze ir vienāda ar nulle tikai un vienīgi tad, ja visas datu vērtības ir identiskas.

Mēs sadalām šo divējādo nosacījumu nosacītā un pretēji. Tad mēs redzam, ka šis paziņojums nozīmē abus šādus aspektus:

• Ja standarta novirze ir nulle, tad visas datu vērtības ir identiskas.
• Ja visas datu vērtības ir identiskas, standarta novirze ir vienāda ar nulli.

Ja mēs cenšamies pierādīt abpusēju nosacījumu, tad lielākoties mēs to sadalām. Tādējādi mūsu pierādījumiem ir divas daļas. Viena daļa, par kuru mēs pierādām, ir “ja P, tad Q.” Otra pierādījumu daļa, kas mums nepieciešama, ir “ja Q, tad P”.

Bicondition izteikumi ir saistīti ar nosacījumiem, kas ir gan nepieciešami, gan pietiekami. Apsveriet paziņojumu “ja šodien ir Lieldienas, tad rīt ir pirmdiena. ” Šodien, kad ir Lieldienas, pietiek, ja rīt būs pirmdiena, tomēr tas nav nepieciešams. Šodien varētu būt jebkura svētdiena, izņemot Lieldienas, un rīt joprojām būtu pirmdiena.

Frāze “ja un tikai tad” matemātikā tiek izmantota pietiekami bieži, ka tai ir savs saīsinājums. Dažreiz bicondition frāzes “tikai un vienīgi tad” paziņojumā tiek saīsināts līdz “iff”. Tādējādi apgalvojums “P tikai un tikai tad, ja Q” kļūst par “P iff Q.”