Nejaušības principa izvēles varbūtība

Skaitļu teorija ir matemātika tas attiecas uz skaitļu komplektu. Mēs kaut nedaudz to ierobežojam, to darot, jo mēs tieši nemācām citus skaitļus, piemēram, iracionālus. Tomēr cita veida reālie skaitļi tiek izmantoti. Papildus tam varbūtības priekšmetam ir daudz savienojumu un krustojumu ar skaitļu teoriju. Viens no šiem savienojumiem ir saistīts ar pirmskaitļi. Precīzāk, mēs varam jautāt, kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlēts vesels skaitlis no 1 līdz x ir galvenais skaitlis?

Tāpat kā ar jebkuru matemātikas problēmu, ir svarīgi saprast ne tikai pieņēmumus, bet arī visu problēmas galveno terminu definīcijas. Šīs problēmas gadījumā mēs apsveram pozitīvos skaitļus, kas nozīmē veselos skaitļus 1, 2, 3,... līdz kaut kādam skaitlim x. Mēs nejauši izvēlamies vienu no šiem skaitļiem, kas nozīmē, ka visi x tikpat iespējams, ka viņus izvēlēsies.

Mēs cenšamies noteikt varbūtību, ka tiek izvēlēts primārais skaitlis. Tādējādi mums ir jāsaprot galvenā skaitļa definīcija. Primārais skaitlis ir pozitīvs vesels skaitlis, kam ir tieši divi faktori. Tas nozīmē, ka vienīgie sākotnējo skaitļu dalītāji ir viens un pats cipars. Tātad 2,3 un 5 ir PRIMES, bet 4, 8 un 12 nav primāti. Mēs atzīmējam, ka, tā kā sākotnējam skaitlim jābūt diviem faktoriem, skaitlis 1 ir

Šīs problēmas risinājums ir vienkāršs maziem numuriem x. Viss, kas mums jādara, ir vienkārši saskaitīt PRIM, kas ir mazāks vai vienāds ar x. Mēs dalām PRIMES skaitu, kas mazāks vai vienāds ar x pēc numura x.

Piemēram, lai atrastu varbūtību, ka sākumsumma tiek izvēlēta no 1 līdz 10, mums ir jāsadala primu skaits no 1 līdz 10 ar 10. Skaitļi 2, 3, 5, 7 ir primāti, tāpēc varbūtība, ka tiek izvēlēta gruntība, ir 4/10 = 40%.

Varbūtību, ka premjers ir izvēlēts no 1 līdz 50, var atrast līdzīgā veidā. Primes, kas ir mazākas par 50, ir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 un 47. Ir 15 PRIMĀLI, kas ir mazāki vai vienādi ar 50. Tādējādi varbūtība, ka pamatprincips tiek izvēlēts nejauši, ir 15/50 = 30%.

Šo procesu var veikt, vienkārši saskaitot PRIM, ja vien mums ir PRIMS saraksts. Piemēram, ir 25 primes, kas ir mazākas vai vienādas ar 100. (Tādējādi varbūtība, ka nejauši izvēlēts skaitlis no 1 līdz 100 ir galvenais, ir 25/100 = 25%.) Tomēr, ja mums nav saraksta PRIMS var būt skaitliski biedējoši noteikt sākotnējo skaitļu kopu, kas ir mazāka vai vienāda ar doto numuru x.

Ja jums nav tādu primu skaita, kas ir mazāki vai vienādi ar x, tad ir alternatīvs veids, kā atrisināt šo problēmu. Risinājums ietver matemātisku rezultātu, kas pazīstams kā galvenā skaitļa teorēma. Šis ir paziņojums par kopējo PRIM sadalījumu, un to var izmantot, lai tuvinātu varbūtību, kuru mēs cenšamies noteikt.

Primārā skaitļa teorēma norāda, ka ir aptuveni x / ln (x) sākotnējie skaitļi, kas ir mazāki vai vienādi ar x. Šeit ln (x) apzīmē dabisko logaritmu x, jeb citiem vārdiem sakot, logaritms ar bāzi numurs e. Kā vērtība x palielina tuvinājumu uzlabo, tādā nozīmē, ka mēs redzam, ka relatīvā kļūda starp PRIM skaitam ir mazāka par x un izteiciens x / ln (x).

Mēs varam izmantot galvenā skaitļa teorēmas rezultātu, lai atrisinātu problēmu, kuru cenšamies risināt. Pēc galvenā skaitļa teorēmas mēs zinām, ka ir aptuveni x / ln (x) sākotnējie skaitļi, kas ir mazāki vai vienādi ar x. Turklāt kopumā ir x pozitīvie veseli skaitļi, kas mazāki vai vienādi ar x. Tāpēc varbūtība, ka nejauši izvēlēts skaitlis šajā diapazonā ir galvenais, ir (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Tagad mēs varam izmantot šo rezultātu, lai tuvinātu varbūtību pēc nejaušas izvēles principa izvēlēties skaitli no pirmā miljardu veseli skaitļi. Mēs aprēķinām miljarda dabisko logaritmu un redzam, ka ln (1 000 000 000) ir aptuveni 20,7 un 1 / ln (1 000 000 000) ir aptuveni 0,0483. Tādējādi mums ir aptuveni 4,83% varbūtība, ka no pirmā miljarda veseliem skaitļiem nejauši izvēlēsimies galveno numuru.