Kas ir Kurtoze statistikā?

Datu sadalījums un varbūtības sadalījums nav vienādas formas. Daži no tiem ir asimetriski un šķībi pa kreisi vai pa labi. Citi sadalījumi ir bimodāls un ir divas virsotnes. Vēl viena iezīme, kas jāņem vērā, runājot par sadalījumu, ir sadalījuma astes forma kreisajā un labajā pusē. Kurtoze ir sadalījuma astes biezuma vai smaguma mērs. Izkliedes kurtoze tiek klasificēta vienā no trim klasifikācijas kategorijām:

• Mesokurtic
• Leptokurtic
• Platykurtic

Mēs apsvērsim katru no šīm klasifikācijām pēc kārtas. Šo kategoriju pārbaude nebūs tik precīza, kā mēs varētu būt, ja izmantotu kurtozes tehniski matemātisko definīciju.

Kurtozi parasti mēra attiecībā pret normāls sadalījums. Izkliede, kurai astes ir aptuveni tādā pašā veidā kā jebkuram normālam sadalījumam, ne tikai standarta normālais sadalījums, tiek uzskatīts par mezokurtisku. Mezokurtiskā sadalījuma kurtoze nav ne augsta, ne zema, drīzāk to uzskata par atskaites punktu pārējām divām klasifikācijām.

Turklāt normāli sadalījumi, divkomponentu sadalījumi, kuriem lpp ir tuvu 1/2, tiek uzskatīti par mezokurtiskiem.

Leptokurtiskais sadalījums ir tāds, kura kurtoze ir lielāka par mezokurtisko sadalījumu. Leptokurtisko sadalījumu dažreiz identificē ar pīķiem, kas ir plāni un gari. Šo sadalījumu astes gan pa labi, gan pa kreisi ir biezas un smagas. Leptokurtisko sadalījumu apzīmē ar priedēkli "lepto", kas nozīmē "izdilis".

Ir daudz leptokurtisko sadalījumu piemēru. Viens no vispazīstamākajiem leptokurtiskajiem sadalījumiem ir Studentu t sadaljums.

Trešā kurtozes klasifikācija ir platykurtic. Platykurtic sadalījums ir tāds, kuram ir tievas astes. Daudzas reizes to maksimums ir zemāks par mezokurtisko sadalījumu. Šo izplatīšanas veidu nosaukums cēlies no priedēkļa "platy", kas nozīmē "plašs", nozīmes.

Visi formas tērps sadalījumi ir platykurtic. Papildus tam diskrēts varbūtības sadalījums no vienas monētas uzsitiena ir platykurtisks.

Šīs kurtozes klasifikācijas joprojām ir nedaudz subjektīvas un kvalitatīvas. Lai gan mēs varētu redzēt, ka sadalījumam ir biezākas astes nekā parastajam sadalījumam, ko darīt, ja mums nav normāla sadalījuma grafika, ar kuru salīdzināt? Ko darīt, ja mēs vēlamies teikt, ka viens sadalījums ir vairāk leptokurtisks nekā cits?

Lai atbildētu uz šāda veida jautājumiem, mums ir nepieciešams ne tikai kvalitatīvs kurtozes apraksts, bet gan kvantitatīvs pasākums. Izmantotā formula ir μ₄/σ⁴ kur μ₄ ir Pīrsona ceturtais brīdis par vidējo un sigma ir standarta novirze.

Tagad, kad mums ir veids, kā aprēķināt kurtozi, mēs varam salīdzināt iegūtās vērtības, nevis formas. Normālajā sadalījumā ir konstatēta trīs kurtoze. Tas tagad kļūst par mūsu pamatu mezokurtiskajiem sadalījumiem. Izkliede ar kurtozi, kas lielāka par trim, ir leptokurtiska un sadalījums ar kurtozi, kas mazāka par trim, ir platykurtiska.

Tā kā mēs izturamies pret mezokurtisko sadalījumu kā bāzi citiem pārējiem sadalījumiem, no standarta kurtozes aprēķina mēs varam atņemt trīs. Formula μ₄/σ⁴ - 3 ir formula pārmērīgai kurtozei. Tad mēs varētu klasificēt sadalījumu pēc tā pārmērīgās kurtozes:

• Mezokurtisko sadalījumu pārmērīga kurtoze ir nulle.
• Platykurtic sadalījumos ir negatīva pārmērīga kurtoze.
• Leptokurtic sadalījumos ir pozitīva pārmērīga kurtoze.

Vārds "kurtosis" šķiet nepāra pirmajā vai otrajā lasījumā. Tam patiesībā ir jēga, taču mums tas jāzina grieķu valodā. Kurtoze ir iegūta no grieķu vārda kurtos transliterācijas. Šim grieķu vārdam ir nozīme “izliekts” vai “izliekts”, padarot to par jēdziena “kurtoze” precīzu aprakstu.