Kā pierādīt papildināšanas noteikumu varbūtībā

Vairākas varbūtības teorēmas var izsecināt no varbūtības aksiomas. Šīs teorēmas var izmantot, lai aprēķinātu varbūtības, kuras mēs varētu vēlēties zināt. Viens no šādiem rezultātiem ir pazīstams kā papildinājuma noteikums. Šis apgalvojums ļauj mums aprēķināt notikumsA zinot komplementa varbūtību A^C. Pēc papildinājuma noteikuma noteikšanas mēs redzēsim, kā šo rezultātu var pierādīt.

Pasākuma papildinājums A tiek apzīmēts ar A^C. Papildinājums A ir komplekts no visiem elementiem universālajā komplektā vai parauga telpa S, kas nav kopas elementi A.

Papildinājuma noteikumu izsaka ar šādu vienādojumu:

P (A^C) = 1 - P (A)

Šeit mēs redzam, ka notikuma varbūtībai un tā komplementācijas varbūtībai jābūt summai 1.

Lai pierādītu komplementa likumu, mēs sākam ar varbūtības aksiomām. Šie apgalvojumi tiek pieņemti bez pierādījumiem. Mēs redzēsim, ka tos sistemātiski var izmantot, lai pierādītu mūsu paziņojumu par notikuma papildināšanas varbūtību.

• Pirmā varbūtības aksioma ir tāda, ka jebkura notikuma varbūtība ir negatīva reālais skaitlis.
• Otrā varbūtības aksioma ir visas parauga telpas varbūtība S ir viens. Simboliski mēs rakstām P (S) = 1.
• Trešajā varbūtības aksiomā ir teikts, ka If A un B ir savstarpēji izslēdzoši (tas nozīmē, ka tiem ir tukšs krustojums), tad mēs norādām šo notikumu savienība kā P (A U B ) = P (A) + P (B).

Papildinājuma noteikumam mums nevajadzēs izmantot pirmo aksiomu iepriekš minētajā sarakstā.

Lai pierādītu savu paziņojumu, mēs apsveram notikumus Aun A^C. No kopu teorijas mēs zinām, ka šīm divām kopām ir tukšs krustojums. Tas ir tāpēc, ka elements nevar vienlaikus atrasties abos A nevis iekšā A. Tā kā ir tukšs krustojums, šie divi komplekti ir savstarpēji izslēdzoši.

Abu notikumu savienība A un A^C ir arī svarīgi. Tie ir izsmeļoši notikumi, kas nozīmē, ka savienība no šiem notikumiem ir visa parauga telpa S.

Šie fakti apvienojumā ar aksiomām dod mums vienādojumu

1 = P (S) = P (A U A^C) = P (A) + P (A^C) .

Pirmā vienādība ir saistīta ar otrās varbūtības aksiomu. Otrā vienlīdzība notiek tāpēc, ka notikumi A un A^C ir izsmeļoši. Trešā vienlīdzība rodas trešās varbūtības aksiomas dēļ.

Iepriekš minēto vienādojumu var pārkārtot tādā formā, kā mēs teicām iepriekš. Viss, kas mums jādara, ir atņemt varbūtību A no abām vienādojuma pusēm. Tādējādi

1 = P (A) + P (A^C)

kļūst par vienādojumu

P (A^C) = 1 - P (A).

Protams, mēs varētu arī izteikt šo noteikumu, paziņojot, ka:

P (A) = 1 - P (A^C).

Visi trīs šie vienādojumi ir līdzīgi veidi, kā pateikt vienu un to pašu. No šī pierādījuma mēs redzam, kā tikai divas aksiomas un kaut kāda noteikta teorija iet tālu, lai palīdzētu mums pierādīt jaunus apgalvojumus par varbūtību.