Viena no matemātikas stratēģijām ir sākt ar dažiem izteikumiem, pēc tam no šiem izteikumiem izveidot vairāk matemātikas. Sākuma paziņojumus sauc par aksiomām. Aksioma parasti ir kaut kas matemātiski pašsaprotams. No samērā īsa aksiomu saraksta deduktīvā loģika tiek izmantota, lai pierādītu citus apgalvojumus, kurus sauc par teorēmām vai piedāvājumiem.
Matemātikas joma, ko sauc par varbūtību, neatšķiras. Varbūtību var samazināt līdz trim aksiomām. To vispirms paveica matemātiķis Andrejs Kolmogorovs. Dažu aksiomu, kas ir pamatā varbūtībai, var izmantot, lai secinātu visu šķiro rezultātu. Bet kādas ir šīs varbūtības aksiomas?
Definīcijas un sākotnējās nostādnes
Lai saprastu varbūtības aksiomas, vispirms ir jāapspriež dažas pamatdefinīcijas. Mēs domājam, ka mums ir rezultātu kopums, ko sauc par izlases telpu S. Šo parauga vietu var uzskatīt par universālu kopumu situācijai, kuru mēs pētām. Parauga vietu veido apakškopas, kuras sauc par notikumiem E1, E2,..., En.
Mēs arī pieņemam, ka pastāv veids, kā jebkuram notikumam var piešķirt varbūtību
E. To var uzskatīt par funkciju, kurai ir iestatīts ievads, un a reālais skaitlis kā izeja. Varbūtība notikumsE tiek apzīmēts ar Lpp(E).Axiom One
Pirmā varbūtības aksioma ir tāda, ka jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs reālais skaitlis. Tas nozīmē, ka mazākā varbūtība, kas jebkad var būt, ir nulle un ka tā nevar būt bezgalīga. Ciparu kopa, ko mēs varam izmantot, ir reālie skaitļi. Tas attiecas gan uz racionālajiem skaitļiem, ko sauc arī par frakcijām, gan uz neracionāliem skaitļiem, kurus nevar uzrakstīt kā frakcijas.
Jāpiebilst, ka šī aksioma neko nesaka par to, cik liela var būt notikuma varbūtība. Aksioma novērš negatīvu varbūtību iespējamību. Tas atspoguļo uzskatu, ka mazākā varbūtība, kas rezervēta neiespējamiem notikumiem, ir nulle.
Otrā aksioma
Otrā varbūtības aksioma ir tāda, ka visas parauga telpas varbūtība ir viena. Simboliski mēs rakstām Lpp(S) = 1. Šajā aksiomā netieši tiek apgalvots, ka parauga telpa ir viss iespējamais mūsu varbūtības eksperimentam un ka ārpus parauga telpas nav notikumu.
Pati par sevi šī aksioma nenosaka augšējo robežu to notikumu iespējamībai, kas nav visa parauga telpa. Tas atspoguļo to, ka kaut kam ar absolūtu noteiktību ir 100% varbūtība.
Trīs aksioma
Trešā varbūtības aksioma attiecas uz savstarpēji izslēdzošiem notikumiem. Ja E1 un E2 ir savstarpēji izslēdzoši, kas nozīmē, ka viņiem ir tukšs krustojums, un tad mēs izmantojam U, lai apzīmētu savienību Lpp(E1 U E2 ) = Lpp(E1) + Lpp(E2).
Aksioma faktiski aptver situāciju ar vairākiem (pat apšaubāmi bezgalīgiem) notikumiem, no kuriem katrs pāris ir savstarpēji izslēdzoši. Kamēr tas notiek, savienības varbūtība notikumu summa ir tāda pati kā varbūtību summa:
Lpp(E1 U E2 U... U En ) = Lpp(E1) + Lpp(E2) +... + En
Kaut arī šī trešā aksioma varētu šķist nederīga, mēs redzēsim, ka tā kopā ar pārējām divām aksiomām ir diezgan spēcīga.
Aksiomu lietojumprogrammas
Trīs aksiomas nosaka jebkura notikuma varbūtības augšējo robežu. Mēs apzīmējam pasākuma papildinājumu E autors EC. No kopējās teorijas, E un EC ir tukšs krustojums un ir savstarpēji izslēdzoši. Turklāt E U EC = S, visa parauga telpa.
Šie fakti apvienojumā ar aksiomām dod mums:
1 = Lpp(S) = Lpp(E U EC) = Lpp(E) + Lpp(EC) .
Mēs pārkārtojam iepriekš minēto vienādojumu un redzam, ka Lpp(E) = 1 - Lpp(EC). Tā kā mēs zinām, ka varbūtībām jābūt nenegatīvām, tagad mums ir tāda, ka jebkura notikuma varbūtības augšējā robeža ir 1.
Pārkārtojot formulu, mums tā ir Lpp(EC) = 1 - Lpp(E). No šīs formulas mēs arī varam secināt, ka varbūtība, ka notikums nenotiks, ir viena mīnus varbūtībai, ka tas notiek.
Iepriekš minētais vienādojums arī sniedz mums iespēju aprēķināt neiespējamā notikuma varbūtību, ko apzīmē ar tukšu kopu. Lai to aplūkotu, atcerieties, ka tukšais komplekts šajā gadījumā ir universālā komplekta papildinājums SC. Kopš 1 = Lpp(S) + Lpp(SC) = 1 + Lpp(SC), pēc algebra mums ir Lpp(SC) = 0.
Papildu pieteikumi
Iepriekš minētie ir tikai daži īpašību piemēri, kurus var pierādīt tieši no aksiomām. Varbūtībai ir daudz vairāk rezultātu. Bet visas šīs teorēmas ir loģiski paplašinājumi no trim varbūtības aksiomām.