Kā atrast eksponenciālās funkcijas sākuma vērtību

Eksponenciālās funkcijas stāsta par sprādzienbīstamām izmaiņām. Divu veidu eksponenciālās funkcijas ir eksponenciāls pieaugums un eksponenciālā sabrukšana. Četri mainīgie - izmaiņas procentos, laiks, summa laika perioda sākumā un summa perioda beigās - spēlē lomu eksponenciālajās funkcijās. Šajā rakstā uzmanība tiek pievērsta tam, kā summu atrast laika perioda sākumā, a.

Eksponenciāls pieaugums: izmaiņas, kas notiek, ja sākotnējā summa tiek palielināta par nemainīgu likmi noteiktā laika posmā

Eksponenciāls pieaugums reālajā dzīvē:

• Mājas cenu vērtības
• Investīciju vērtības
• Palielināta dalība populārajā sociālo tīklu vietnē

Šeit ir eksponenciāla izaugsmes funkcija:

y = a (1 + b)^x

• y: Galīgā summa, kas paliek noteiktā laika posmā
• a: Sākotnējā summa
• x: Laiks
• augšanas faktors ir (1 + b).
• Mainīgais, b, ir procentuālās izmaiņas procentos aiz komata.

Eksponenciālā samazināšanās: izmaiņas, kas notiek, ja sākotnējo summu noteiktā laika posmā samazina par nemainīgu ātrumu

Eksponenciāla sabrukšana reālajā dzīvē:

• Laikrakstu lasītāju skaita samazināšanās
• Insultu samazināšanās ASV
• Cilvēku skaits, kas palikuši viesuļvētras skartajā pilsētā

Šeit ir eksponenciālā samazinājuma funkcija:

y = a (1-b)^x

• y: Galīgā summa, kas paliek noteikta laika posmā pēc sabrukšanas
• a: Sākotnējā summa
• x: Laiks
• sabrukšanas faktors ir (1-b).
• Mainīgais, b, ir samazinājums procentos aiz komata.

Pēc sešiem gadiem, iespējams, jūs vēlaties iegūt bakalaura grādu Dream University. Ar 120 000 ASV dolāru cenu zīmi Dream University izsauc finanšu nakts šausmas. Pēc negulētām naktīm jūs, mamma un tētis satiecaties ar finanšu plānotāju. Jūsu vecāku asinsizplūduma acis noskaidrojas, kad plānotājs atklāj investīciju ar 8% pieauguma līmeni, kas var palīdzēt jūsu ģimenei sasniegt mērķi 120 000 USD. Mācieties smagi. Ja jūs un jūsu vecāki šodien ieguldīsit 75 620,36 USD, tad Dream University kļūs par jūsu realitāti.

Šī funkcija apraksta investīciju eksponenciālo pieaugumu:

120,000 = a(1 +.08)⁶

• 120 000: galīgā summa, kas paliek pēc 6 gadiem
• .08: Gada pieauguma temps
• 6: Investīciju pieauguma gadu skaits
• a: Sākotnējā summa, ko ieguldīja jūsu ģimene

Mājiens: Pateicoties vienādības simetriskajam īpašumam, 120 000 = a(1 +.08)⁶ ir tāds pats kā a(1 +.08)⁶ = 120,000. (Simetriskais vienādības īpašums: Ja 10 + 5 = 15, tad 15 = 10 + 5.)

Ja vēlaties vienādojumu pārrakstīt ar konstantu 120 000 vienādojuma labajā pusē, tad dariet to.

a(1 +.08)⁶ = 120,000

Piešķirts, ka vienādojums neizskatās kā lineārs vienādojums (6a = USD 120 000), bet tas ir atrisināms. Pieturies pie tā!

a(1 +.08)⁶ = 120,000

Esiet piesardzīgs: neatrisiniet šo eksponenciālo vienādojumu, dalot 120 000 ar 6. Tā ir vilinoša matemātika nē.

1. Izmantojiet Operāciju secība vienkāršot.

a(1 +.08)⁶ = 120,000

a(1.08)⁶ = 120 000 (iekavas)

a(1,586874323) = 120 000 (eksponents)

2. Atrisiniet, sadalot

a(1.586874323) = 120,000

a(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)

1a = 75,620.35523

a = 75,620.35523

Sākotnējā summa jeb summa, kas jūsu ģimenei būtu jāiegulda, ir aptuveni 75 620,36 USD.

3. Iesaldēt - jūs vēl neesat izdarījis. Izmantojiet operāciju secību, lai pārbaudītu atbildi.

120,000 = a(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Iekavas)

120 000 = 75 620,35523 (1,586874323) (eksponents)

120 000 = 120 000 (reizināšana)

Šeit ir piemēri, kā atrisināt sākotnējo summu, ņemot vērā eksponenciālo funkciju:

1. 84 = a(1+.31)⁷
   Izmantojiet operāciju secību, lai vienkāršotu.
   84 = a(1.31)⁷ (Iekavas)
   84 = a(6.620626219) (eksponents)
   Sadaliet, lai atrisinātu.
   84/6.620626219 = a(6.620626219)/6.620626219
   12.68762157 = 1a
   12.68762157 = a
   Izmantojiet operāciju secību, lai pārbaudītu atbildi.
   84 = 12.68762157(1.31)⁷ (Iekavas)
   84 = 12,68762157 (6.620626219) (eksponents)
   84 = 84 (reizināšana)
2. a(1 -.65)³ = 56
   Izmantojiet operāciju secību, lai vienkāršotu.
   a(.35)³ = 56 (iekavas)
   a(.042875) = 56 (eksponents)
   Sadaliet, lai atrisinātu.
   a(.042875)/.042875 = 56/.042875
   a = 1,306.122449
   Izmantojiet operāciju secību, lai pārbaudītu atbildi.
   a(1 -.65)³ = 56
   1,306.122449(.35)³ = 56 (iekavas)
   1 306,122449 (.042875) = 56 (eksponents)
   56 = 56 (reizināt)
3. a(1 + .10)⁵ = 100,000
   Izmantojiet operāciju secību, lai vienkāršotu.
   a(1.10)⁵ = 100 000 (iekavas)
   a(1,61051) = 100 000 (eksponents)
   Sadaliet, lai atrisinātu.
   a(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
   a = 62,092.13231
   Izmantojiet operāciju secību, lai pārbaudītu atbildi.
   62,092.13231(1 + .10)⁵ = 100,000
   62,092.13231(1.10)⁵ = 100 000 (iekavas)
   62 092 133231 (1,61051) = 100 000 (eksponents)
   100 000 = 100 000 (reizināt)
4. 8,200 = a(1.20)¹⁵
   Izmantojiet operāciju secību, lai vienkāršotu.
   8,200 = a(1.20)¹⁵ (Eksponents)
   8,200 = a(15.40702157)
   Sadaliet, lai atrisinātu.
   8,200/15.40702157 = a(15.40702157)/15.40702157
   532.2248665 = 1a
   532.2248665 = a
   Izmantojiet operāciju secību, lai pārbaudītu atbildi.
   8,200 = 532.2248665(1.20)¹⁵
   8,200 = 532,2248665 (15.40702157) (eksponents)
   8,200 = 8200 (Nu, 8,199,9999... Tikai nedaudz noapaļošanas kļūda.) (Reizināt.)
5. a(1 -.33)² = 1,000
   Izmantojiet operāciju secību, lai vienkāršotu.
   a(.67)² = 1,000 (iekavas)
   a(.4489) = 1000 (eksponents)
   Sadaliet, lai atrisinātu.
   a(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
   1a = 2,227.667632
   a = 2,227.667632
   Izmantojiet operāciju secību, lai pārbaudītu atbildi.
   2,227.667632(1 -.33)² = 1,000
   2,227.667632(.67)² = 1,000 (iekavas)
   2227,667632 (.4489) = 1 000 (eksponents)
   1,000 = 1,000 (reizināt)
6. a(.25)⁴ = 750
   Izmantojiet operāciju secību, lai vienkāršotu.
   a(.00390625) = 750 (eksponents)
   Sadaliet, lai atrisinātu.
   a(.00390625)/00390625= 750/.00390625
   1a = 192 000
   a = 192 000
   Izmantojiet operāciju secību, lai pārbaudītu atbildi.
   192,000(.25)⁴ = 750
   192,000(.00390625) = 750
   750 = 750