Matemātiskās statistikas momenti ietver pamata aprēķinu. Šos aprēķinus var izmantot, lai atrastu varbūtības sadalījuma vidējo lielumu, dispersiju un šķībumu.
Pieņemsim, ka mums ir datu kopums ar kopējo summu ndiskrēts punkti. Vienu svarīgu aprēķinu, kas faktiski ir vairāki skaitļi, sauc par sth moments. sdatu kopas ar vērtībām moments x1, x2, x3,..., xn aprēķina pēc formulas:
(x1s + x2s + x3s +... + xns)/n
Lai izmantotu šo formulu, mums jābūt uzmanīgiem ar savu operāciju kārtību. Vispirms mums jādara eksponenti, jāpievieno, pēc tam jāsadala šī summa ar n kopējais datu vērtību skaits.
Piezīme par terminu “mirklis”
Termiņš brīdis ir pārņemts no fizikas. Fizikā punktu masu sistēmas momentu aprēķina ar formulu, kas identiska iepriekšminētajai formulai, un šo formulu izmanto punktu masas centra atrašanai. Statistikā vērtības vairs nav masas, bet, kā mēs redzēsim, statistikas momenti joprojām mēra kaut ko attiecībā pret vērtību centru.
Pirmais mirklis
Pirmo brīdi mēs uzstādījām s = 1. Tādējādi pirmā brīža formula ir šāda:
(x1x2 + x3 +... + xn)/n
Tā ir identiska parauga formulai nozīmē.
Pirmais vērtību lielums 1, 3, 6, 10 ir (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Otrais mirklis
Otro brīdi mēs uzstādījām s = 2. Otrā mirkļa formula ir šāda:
(x12 + x22 + x32 +... + xn2)/n
Vērtību 1, 3, 6, 10 otrais moments ir (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Trešais mirklis
Trešo brīdi mēs uzstādījām s = 3. Trešā mirkļa formula ir šāda:
(x13 + x23 + x33 +... + xn3)/n
Vērtību 1, 3, 6, 10 trešais moments ir (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Lielākus momentus var aprēķināt līdzīgi. Vienkārši nomainiet s iepriekšminētajā formulā ar skaitli, kas apzīmē vēlamo momentu.
Brīži par vidējo
Saistīta ideja ir sth brīdis par vidējo. Šajā aprēķinā mēs veicam šādus soļus:
- Vispirms aprēķiniet vērtību vidējo lielumu.
- Tālāk atņemiet šo vidējo vērtību no katras vērtības.
- Tad palieliniet katru no šīm atšķirībām līdz sth vara.
- Tagad pievienojiet numurus no 3. soļa kopā.
- Visbeidzot, sadaliet šo summu ar vērtību skaitu, ar kuru mēs sākām.
Formula sth brīdis par vidējo m no vērtību vērtībām x1, x2, x3,..., xn piešķir:
ms = ((x1 - m)s + (x2 - m)s + (x3 - m)s +... + (xn - m)s)/n
Pirmais mirklis par vidējo
Pirmais brīdis par vidējo vienmēr ir vienāds ar nulli, neatkarīgi no tā, kāda ir datu kopa, ar kuru mēs strādājam. To var redzēt šādi:
m1 = ((x1 - m) + (x2 - m) + (x3 - m) +... + (xn - m))/n = ((x1+ x2 + x3 +... + xn) - nm)/n = m - m = 0.
Otrais mirklis par vidējo
Otro brīdi par vidējo iegūst no iepriekšminētās formulas, iestatots = 2:
m2 = ((x1 - m)2 + (x2 - m)2 + (x3 - m)2 +... + (xn - m)2)/n
Šī formula ir līdzvērtīga parauga dispersijas formulai.
Piemēram, ņemiet vērā komplektu 1, 3, 6, 10. Mēs jau esam aprēķinājuši, ka šīs kopas vidējā vērtība ir 5. Atņemiet to no katras datu vērtības, lai iegūtu atšķirības:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Katru no šīm vērtībām sadala kvadrātā un saskaita: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Visbeidzot sadaliet šo skaitli ar datu punktu skaitu: 46/4 = 11,5
Momentu pielietojumi
Kā minēts iepriekš, pirmais moments ir vidējais, un otrais moments par vidējo ir paraugs dispersija. Kārlis Pīrsons iepazīstināja ar trešā momenta izmantošanu vidējā aprēķinā šķībums un ceturtais brīdis par vidējo, aprēķinot kurtoze.