Paredzamā vērtība Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck ir azartspēle. Trīs kauliņi tiek velmēti, dažreiz stiepļu rāmī. Šī rāmja dēļ šo spēli sauc arī par putnu būru. Šo spēli biežāk redz karnevālos, nevis kazino. Tomēr, pateicoties nejaušu kauliņu izmantošanai, mēs varam izmantot varbūtību, lai analizētu šo spēli. Konkrētāk, mēs varam aprēķināt šīs spēles paredzamo vērtību.

Ir vairāki derību veidi, uz kuriem iespējams derēt. Mēs apsvērsim tikai viena numura likmi. Šajā likmē mēs vienkārši izvēlamies konkrētu numuru no viena līdz sešiem. Tad mēs velmējam kauliņu. Apsveriet iespējas. Visi kauliņi, divi no tiem, viens no tiem vai neviens nevarēja parādīt numuru, kuru mēs izvēlējāmies.

Pieņemsim, ka šī spēle maksās šādi:

• 3 USD, ja visi trīs kauliņi atbilst izvēlētajam skaitlim.
• 2 USD, ja tieši divi kauliņi atbilst izvēlētajam skaitlim.
• 1 ASV dolārs, ja tieši viens no kauliņiem atbilst izvēlētajam skaitlim.

Ja neviens no kauliņiem neatbilst izvēlētajam skaitlim, tad mums jāmaksā USD 1.

Kāda ir šīs spēles paredzamā vērtība? Citiem vārdiem sakot, cik daudz ilgtermiņā mēs sagaidītu, lai uzvarētu vai zaudētu, ja mēs spēlētu šo spēli atkārtoti?

Lai atrastu paredzamo šīs spēles vērtību, mums jānosaka četras varbūtības. Šīs varbūtības atbilst četriem iespējamiem rezultātiem. Mēs atzīmējam, ka katrs mirst ir neatkarīgs no citiem. Šīs neatkarības dēļ mēs izmantojam reizināšanas noteikumu. Tas mums palīdzēs noteikt rezultātu skaitu.

Mēs arī pieņemam, ka kauliņi ir godīgi. Katra no sešām pusēm katrā no trim kauliņiem, visticamāk, tiks velmēta.

Šo trīs kauliņu ripināšanas rezultātā ir iespējami 6 x 6 x 6 = 216 rezultāti. Šis skaitlis būs saucējs visām mūsu varbūtībām.

Ir viens veids, kā visus trīs kauliņus saskaņot ar izvēlēto numuru.

Pastāv pieci veidi, kā viena mirst neatbilst mūsu izvēlētajam skaitam. Tas nozīmē, ka ir 5 x 5 x 5 = 125 veidi, kā neviens no mūsu kauliņiem neatbilst izvēlētajam skaitlim.

Ja mēs uzskatām tieši divu kauliņu sakritību, tad mums ir viena nāve, kas neatbilst.

• Ir 1 x 1 x 5 = 5 veidi, kā pirmie divi kauliņi sakrīt ar mūsu skaitli, bet trešie - atšķirīgi.
• Pirmajam un trešajam kauliņam var būt 1 x 5 x 1 = 5 veidi, kā otrais ir atšķirīgs.
• Ir 5 x 1 x 1 = 5 veidi, kā pirmajam veidnei jābūt atšķirīgam, bet otrajam un trešajam - sakrīt.

Tas nozīmē, ka ir pavisam 15 veidi, kā precīzi saskaņot divus kauliņus.

Tagad mēs esam aprēķinājuši, kā iegūt visus rezultātus, izņemot vienu, bet tikai vienu. Ir iespējami 216 ruļļi. Mēs esam veidojuši 1 + 15 + 125 = 141 no tiem. Tas nozīmē, ka ir atlikuši 216 -141 = 75.

Mēs apkopojam visu iepriekš minēto informāciju un redzam:

• Varbūtība, ka mūsu skaitlis sakrīt ar visiem trim kauliņiem, ir 1/216.
• Varbūtība, ka mūsu skaitlis precīzi sakrīt ar diviem kauliņiem, ir 15/216.
• Varbūtība, ka mūsu skaitlis precīzi sakrīt ar vienu nāves gadījumu, ir 75/216.
• Varbūtība, ka mūsu skaitlis neatbilst nevienam kauliņam, ir 125/216.

Mēs tagad esam gatavi aprēķināt paredzamā vērtība no šīs situācijas. paredzamās vērtības formula prasa mums reizināt katra notikuma varbūtību ar tīro guvumu vai zaudējumiem, ja notikums notiek. Pēc tam mēs visus šos produktus pievienojam kopā.

Paredzamās vērtības aprēķins ir šāds:

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

Tas ir aptuveni - USD 0,08. Interpretācija ir tāda, ka, ja mēs spēlētu šo spēli atkārtoti, mēs vidēji zaudētu 8 centus katru reizi, kad spēlējam.