Paredzamā binomālā sadalījuma vērtība

Binomu sadalījumi ir svarīga diskrēto klase varbūtības sadalījumi. Šie izplatīšanas veidi ir virkne n neatkarīgi Bernoulli izmēģinājumi, kuriem katram ir nemainīga varbūtība lpp veiksmes. Tāpat kā ar jebkuru varbūtības sadalījumu, mēs gribētu zināt, kāds ir tā vidējais vai centrs. Par to mēs patiešām jautājam: “Kas ir paredzamā vērtība no binomālā sadalījuma? ”

Intuīcija vs. Pierādījums

Ja mēs rūpīgi domājam par a divdomīgais sadalījums, nav grūti noteikt, ka sagaidāmais šāda veida varbūtības sadalījuma vērtība ir np. Lai apskatītu dažus ātrus piemērus, ņemiet vērā šādus jautājumus:

  • Ja mēs mētājam 100 monētas, un X ir galvu skaits, paredzamā vērtība X ir 50 = (1/2) 100.
  • Ja mēs kārtojam atbilžu variantu testu ar 20 jautājumiem, un katram jautājumam ir četras izvēles (tikai viena no kas ir pareizi), tad nejaušs minējums nozīmētu, ka mēs sagaidīsim tikai (1/4) 20 = 5 jautājumu saņemšanu pareizi.

Abos šajos piemēros mēs to redzam E [X] = n lpp. Ar diviem gadījumiem diez vai pietiek, lai izdarītu secinājumu. Lai arī intuīcija ir labs līdzeklis, lai mūs vadītu, ar to nepietiek, lai izveidotu matemātisku argumentu un pierādītu, ka kaut kas ir patiess. Kā mēs varam galīgi pierādīt, ka šī sadalījuma paredzamā vērtība patiešām ir

instagram viewer
np?

No paredzamās vērtības definīcijas un masas varbūtības funkcijas divdomīgais sadalījums no n veiksmes varbūtības izmēģinājumi lpp, mēs varam parādīt, ka mūsu intuīcija sakrīt ar matemātiskās stingrības augļiem. Mums jābūt nedaudz uzmanīgiem savā darbā un izveicīgi manipulējot ar binomālo koeficientu, ko piešķir kombināciju formula.

Mēs sākam, izmantojot formulu:

E [X] = Σ x = 0n x C (n, x) lppx(1-p)n - x.

Tā kā katrs summēšanas termiņš tiek reizināts ar x, termina vērtība, kas atbilst x = 0 būs 0, un tāpēc mēs faktiski varam rakstīt:

E [X] = Σ x = 1n x C (n, x) lpp x (1 - p) n - x .

Manipulējot ar faktoriem, kas iesaistīti C (n, x) mēs varam pārrakstīt

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Tas tā ir tāpēc, ka:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

No tā izriet, ka:

E [X] = Σ x = 1n n C (n - 1, x - 1) lpp x (1 - p) n - x .

Mēs izsvītrojam n un viens lpp no iepriekšminētās izteiksmes:

E [X] = np Σ x = 1n C (n - 1, x - 1) p x - 1 (1 - p) (n - 1) - (x - 1) .

Mainīgo lielumu maiņa r = x - 1 dod mums:

E [X] = np Σ r = 0n - 1 C (n - 1, r) p r (1 - p) (n - 1) - r .

Pēc binomālās formulas (x + y)k = Σ r = 0 kC (k, r) xr yk - r iepriekš minēto summēšanu var pārrakstīt:

E [X] = (np) (p + (1 - p))n - 1 = np.

Iepriekš minētais arguments mums ir gājis tālu. Sākotnēji tikai ar binomālā sadalījuma paredzamās vērtības un varbūtības masas funkcijas noteikšanu, mēs esam pierādījuši, ka tas, ko mums teica mūsu intuīcija. Paredzamā vērtība divdomīgais sadalījumsB (n, p) ir n lpp.