Kā atšķiras kombinācijas un permutācijas

Visā matemātikā un statistikā mums jāzina, kā skaitīt. Īpaši tas attiecas uz dažiem varbūtība problēmas. Pieņemsim, ka mums kopā tiek doti n atšķirīgus objektus un vēlaties atlasīt r no viņiem. Tas tieši skar matemātikas jomu, kas pazīstama kā kombinatorika, kas ir skaitīšanas pētījums. Divi galvenie veidi, kā tos saskaitīt r objekti no n elementus sauc par permutācijām un kombinācijām. Šie jēdzieni ir savstarpēji cieši saistīti un viegli sajaukt.

Kāda ir atšķirība starp kombināciju un permutāciju? Galvenā ideja ir kārtība. Permutācija pievērš uzmanību secībai, kādā mēs izvēlamies savus objektus. Tas pats priekšmetu komplekts, bet ņemts citā secībā, radīs atšķirīgas permutācijas. Izmantojot kombināciju, mēs joprojām izvēlamies r objekti no kopumā n, bet pasūtījums vairs netiek uzskatīts.

Lai atšķirtu šīs idejas, mēs apsvērsim šādu piemēru: cik daudz permutāciju ir no diviem burtiem no kopas {a, b, c}?

Šeit uzskaitīti visi elementu pāri no dotā komplekta, vienlaikus pievēršot uzmanību pasūtījumam. Pavisam ir sešas permutācijas. To visu saraksts ir: ab, ba, bc, cb, ac un ca. Ņemiet vērā, ka kā permutācijas

Tagad mēs atbildēsim uz šādu jautājumu: cik daudz ir divu burtu kombinācijas kombinācijā {a, b, c}?

Tā kā mums ir darīšana ar kombinācijām, mums vairs nerūp kārtība. Mēs varam atrisināt šo problēmu, atskatoties uz permutācijām un pēc tam novēršot tās, kurās ir tie paši burti. Kā kombinācijas, ab un ba tiek uzskatīti par vienādiem. Tādējādi ir tikai trīs kombinācijas: ab, ac un bc.

Situācijās, kurās mēs sastopamies ar lielākiem komplektiem, ir pārāk laikietilpīgi uzskaitīt visas iespējamās permutācijas vai kombinācijas un saskaitīt gala rezultātu. Par laimi, ir formulas, kas dod mums permutāciju vai kombināciju skaitu n uzņemtie objekti r laikā.

Šajās formulās mēs izmantojam saīsinātu apzīmējumu n! sauca nfaktoriālais. Faktoriālais saka tikai reizināt visus pozitīvos veselos skaitļus, kas mazāki vai vienādi ar n kopā. Tātad, piemēram, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Pēc definīcijas 0! = 1.

Permutāciju skaits n uzņemtie objekti r vienā reizē tiek dota pēc formulas:

Lpp(n,r) = n!/(n - r)!

Kombināciju skaits n uzņemtie objekti r vienā reizē tiek dota pēc formulas:

C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]

Lai redzētu formulas darbā, apskatīsim sākotnējo piemēru. Trīs objektu komplekta permutāciju skaitu, kas uzņemti divi vienlaicīgi, norāda ar Lpp(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Tas precīzi atbilst tam, ko ieguvām, uzskaitot visas permutācijas.

Triju objektu kopu kombināciju skaitu, kas uzņemti divi vienlaikus, aprēķina ar:

C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Atkal tas precīzi atbilst tam, ko mēs redzējām iepriekš.

Formulas noteikti ietaupa laiku, kad mums tiek lūgts atrast lielāka komplekta permutāciju skaitu. Piemēram, cik daudz permutāciju ir no desmit objektu kopuma, kas uzņemti trīs vienlaikus? Būtu vajadzīgs laiks, lai uzskaitītu visas permutācijas, bet, izmantojot formulas, mēs redzam, ka:

Lpp(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutācijas.

Kāda ir atšķirība starp permutācijām un kombinācijām? Rezultāts ir tāds, ka, skaitot situācijas, kas saistītas ar pasūtījumu, ir jāizmanto permutācijas. Ja pasūtījums nav svarīgs, tad jāizmanto kombinācijas.