Vienu darbību, ko bieži izmanto, lai no vecām izveidotu jaunas komplektus, sauc par savienību. Parastā lietojumā vārds arodbiedrība nozīmē apvienošanos, piemēram, arodbiedrības organizētā darba organizācijā vai Savienības stāvoklis adrese, kuru ASV Priekšsēdētājs uzstājas pirms kopīgās kongresa sesijas. Matemātiskā nozīmē divu kopu savienība saglabā šo apvienošanas ideju. Precīzāk, divu komplektu savienība A un B ir visu elementu kopums x tāds, ka x ir kopas elements A vai x ir kopas elements B. Vārds, kas norāda, ka mēs izmantojam savienību, ir vārds "vai".
Vārds "vai"
Kad ikdienas sarunās izmantojam vārdu “vai”, mēs, iespējams, nesaprotam, ka šis vārds tiek izmantots divos dažādos veidos. Ceļš parasti tiek izsecināts no sarunas konteksta. Ja jums vaicātu “Vai jūs vēlētos vistu vai steiku?” parasti tiek domāts, ka jums var būt viens vai otrs, bet ne abi. Pretstatā tam ar jautājumu “Vai jūs vēlētos sviestu vai skābo krējumu uz jūsu ceptiem kartupeļiem?” Šeit "vai" ir izmanto iekļaujošā nozīmē, ka jūs varētu izvēlēties tikai sviestu, tikai skābo krējumu vai arī sviestu, un skābo krēms.
Matemātikā vārdu "vai" lieto iekļaujošā nozīmē. Tātad paziņojums "x ir A vai elements B"nozīmē, ka ir iespējams viens no trim:
- x ir taisnīguma elements A un nevis B
- x ir taisnīguma elements B un nevis A.
- x ir elements abos A un B. (To mēs arī varētu teikt x ir krustojuma elements A un B
Piemērs
Piemērs tam, kā divu kopu savienība veido jaunu komplektu, ņemsim vērā kopas A = {1, 2, 3, 4, 5} un B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Lai atrastu šo divu kopu savienību, mēs vienkārši uzskaitām katru redzamo elementu, uzmanot, lai nedublē nevienu elementu. Skaitļi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ir vai nu vienā, vai otrā komplektā, tāpēc A un B ir {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Apzīmējums Savienībai
Papildus izpratnei par noteikto teoriju operāciju jēdzieniem ir svarīgi arī lasīt simbolus, ko izmanto šo operāciju apzīmēšanai. Simbols, ko izmanto abu komplektu savienošanai A un B ir devis A ∪ B. Viens veids, kā atcerēties simbolu ∪, kas attiecas uz savienību, ir pamanīt tā līdzību ar lielo burtu U, kas ir īss vārds “savienība”. Esiet piesardzīgs, jo savienības simbols ir ļoti līdzīgs simbolam krustojums. Vienu no otra iegūst ar vertikālu uzsitienu.
Lai redzētu šo apzīmējumu darbībā, skatiet iepriekš minēto piemēru. Šeit mums bija komplekti A = {1, 2, 3, 4, 5} un B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Tātad mēs uzrakstītu iestatīto vienādojumu A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.
Savienība ar tukšo komplektu
Viena pamata identitāte, kas ietver savienību, parāda mums, kas notiek, kad mēs ņemam jebkura kopuma savienību ar tukšu komplektu, kas apzīmēts ar numuru 8709. Tukšais komplekts ir komplekts bez elementiem. Tātad pievienošanās šim citam komplektam nedos nekādas sekas. Citiem vārdiem sakot, jebkura komplekta apvienojums ar tukšu komplektu mums atdos oriģinālo komplektu
Izmantojot mūsu apzīmējumu, šī identitāte kļūst vēl kompakta. Mums ir identitāte: A ∪ ∅ = A.
Savienība ar universālo komplektu
Otrkārt, kas notiek, kad mēs pārbaudām kopas savienība ar universālo komplektu? Tā kā universālais komplekts satur katru elementu, mēs tam neko citu nevaram pievienot. Tātad savienība vai jebkurš komplekts ar universālo komplektu ir universālais komplekts.
Atkal mūsu apzīmējums palīdz mums izteikt šo identitāti kompaktā formātā. Jebkuram komplektam A un universālais komplekts U, A ∪ U = U.
Citas identitātes, kas iesaista Savienību
Ir daudz vairāk noteiktu identitāšu, kas saistītas ar arodbiedrības darbības izmantošanu. Protams, vienmēr ir labi prakse izmantojot kopu teorijas valodu. Daži no svarīgākajiem ir norādīti zemāk. Visiem komplektiem A, un B un D mums ir:
- Refleksīvs īpašums: A ∪ A =A
- Komutācijas īpašums: A ∪ B = B ∪ A
- Asociētais īpašums: (A ∪ B) ∪ D =A ∪ (B ∪ D)
- DeMorgan's likums I: (A ∩ B)C = AC ∪ BC
- DeMorgan's likums II: (A ∪ B)C = AC ∩ BC