Ieraudzījis formulas, kas iespiestas mācību grāmatā vai uzrakstītas uz tāfeles, skolotājs dažreiz to pārsteidz lai uzzinātu, ka daudzas no šīm formulām var iegūt no dažām pamatdefinīcijām un rūpīgi pārdomāt. Tas jo īpaši attiecas uz varbūtību, pārbaudot kombināciju formulu. Šīs formulas atvasināšana patiešām balstās tikai uz reizināšanas principu.
Reizināšanas princips
Pieņemsim, ka ir veicams uzdevums, un šis uzdevums ir sadalīts kopumā divos posmos. Pirmo soli var izdarīt k veidus, un otro soli var veikt n veidos. Tas nozīmē, ka pēc reizinot šie skaitļi kopā, uzdevumu veikšanas veidu skaits ir liels nk.
Piemēram, ja jums ir desmit saldējuma veidi, no kuriem izvēlēties, un trīs dažādi papildinājumi, cik daudz jūs varat pagatavot vienu kausiņu, vienu papildinošu sauļņu? Reiziniet trīs ar 10, lai iegūtu 30 sauļus.
Permutāciju veidošana
Tagad izmantojiet reizināšanas principu, lai iegūtu formulu kombināciju skaitam r elementi, kas ņemti no n elementi. Ļaujiet P (n, r) apzīmē numuru permutācijas no r elementi no n un C (n, r) apzīmē kombināciju skaitu r elementi no n elementi.
Padomājiet par to, kas notiek, veidojot permutāciju r elementi no n. Raugieties uz to kā uz divpakāpju procesu. Vispirms izvēlieties r elementi no n. Šī ir kombinācija, un ir C(n, r) veidi, kā to izdarīt. Otrais procesa solis ir pasūtīšana r elementi ar r izvēles pirmajam, r - 1 izvēle otrajai, r - 2 par trešo, 2 izvēles priekšpēdējā un 1 pēdējā. Pēc reizināšanas principa ir r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! veidi, kā to izdarīt. Šī formula ir rakstīta ar faktoru notācija.
Formulas atvasināšana
Lai atgādinātu, Lpp(n,r ), permutācijas veidošanas veidu skaits r elementi no n nosaka:
- Formatējot kombināciju r elementi no kopskaita n jebkurā no C(n,r ) veidi
- Pasūtot šos r elementi kāds no r! veidos.
Pēc reizināšanas principa permutācijas veidošanas veidu ir daudz Lpp(n,r ) = C(n,r ) x r!.
Izmantojot permutāciju formulu Lpp(n,r ) = n!/(n - r), kuru var aizstāt ar iepriekšminēto formulu:
n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.
Tagad atrisiniet šo kombināciju skaitu, C(n,r ), un redziet to C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].
Kā parādīts, nedaudz domu un algebra var iet tālu. Citas varbūtības un statistikas formulas var arī iegūt, rūpīgi izmantojot definīcijas.