Varbūtība, ka Jahtzeē varētu uzbraukt pilnu māju?

Yahtzee spēle ietver piecu standarta kauliņu izmantošanu. Katrā piegājienā spēlētājiem tiek piešķirti trīs ripas. Pēc katras ripināšanas var saglabāt neierobežotu skaitu kauliņu ar mērķi iegūt īpašas šo kauliņu kombinācijas. Katrs dažāda veida kombinācija ir atšķirīga punktu skaita vērts.

Vienu no šiem kombinācijas veidiem sauc par pilnu māju. Tāpat kā pilna māja pokera spēlē, arī šajā kombinācijā ietilpst trīs no noteikta skaita un pāris ar atšķirīgu numuru. Tā kā Yahtzee ir saistīta ar nejaušu kauliņu ripošanu, šo spēli var analizēt, izmantojot varbūtību, lai noteiktu, cik liela ir varbūtība, ka vienā rullī tiks ievietota pilna māja.

Mēs sāksim ar savu pieņēmumu izklāstu. Mēs pieņemam, ka izmantotie kauliņi ir taisnīgi un neatkarīgi viens no otra. Tas nozīmē, ka mums ir vienota parauga telpa, kas sastāv no visiem iespējamiem piecu kauliņu ruļļiem. Lai arī Yahtzee spēle pieļauj trīs ripas, mēs apsvērsim tikai gadījumu, kad mēs iegūstam pilnu māju vienā rullī.

Tā kā mēs strādājam ar

Rezultātu skaits izlasē ir vienkāršs. Tā kā ir pieci kauliņi un katram no šiem kauliņiem var būt viens no sešiem atšķirīgiem iznākumiem, iznākumu skaits parauga telpā ir 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Tālāk mēs aprēķinām, cik daudz veidu ir iespējams pilnvērtīgu māju apgāzt. Šī ir grūtāka problēma. Lai būtu pilna māja, mums ir nepieciešami trīs viena veida kauliņi, kam seko pāris cita veida kauliņi. Mēs sadalīsim šo problēmu divās daļās:

• Cik ir dažādu tipu pilnvērtīgu māju, kuras varētu velmēt?
• Cik daudz veidu var pārvērst konkrēta tipa pilnmājā?

Tiklīdz mēs zinām katra no šiem numuriem, mēs tos varam reizināt, lai iegūtu kopējo pilnu māju skaitu, kuras var pārstrādāt.

Sākumā aplūkojam dažādu veidu pilnu māju skaitu, kuras var velmēt. Jebkuru no numuriem 1, 2, 3, 4, 5 vai 6 var izmantot trīs veidam. Pārim ir pieci atlikušie numuri. Tādējādi ir 6 x 5 = 30 dažādu veidu pilnbūvju kombinācijas, kuras var velmēt.

Piemēram, mums varētu būt 5, 5, 5, 2, 2 kā viena veida pilna māja. Cita veida pilna māja būtu 4, 4, 4, 1, 1. Vēl viens būtu 1, 1, 4, 4, 4, kas atšķiras no iepriekšējās pilnās mājas, jo ir mainītas četrinieku un viņu lomas.

Tagad mēs nosakām atšķirīgu veidu, kā ripot konkrētu pilnu māju. Piemēram, katrs no šiem piedāvā mums vienu un to pašu trīs četrinieku un divu māju pilnu:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Mēs redzam, ka ir vismaz pieci veidi, kā ripot konkrētu pilno māju. Vai ir vēl citi? Pat ja mēs turpinām uzskaitīt citas iespējas, kā mēs zinām, ka esam atraduši tās visas?

Galvenais, lai atbildētu uz šiem jautājumiem, ir saprast, ka mums ir darīšana ar skaitīšanas problēmu, un noteikt, ar kāda veida skaitīšanas problēmu mēs strādājam. Ir piecas pozīcijas, un trīs no tām jāaizpilda ar četrām. Kārtībai, kādā mēs ievietojam četrrāpus, nav nozīmes, kamēr tiek aizpildītas precīzas pozīcijas. Kad četrstūru atrašanās vieta ir noteikta, to ievietošana notiek automātiski. Šo iemeslu dēļ mums jāapsver kombinācija no piecām pozīcijām, kas ieņemtas trīs vienlaikus.

Lai iegūtu, izmantojam kombinēto formulu C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Tas nozīmē, ka ir 10 dažādi veidi, kā pārvietot konkrēto pilno māju.

Apkopojot to visu, mums ir pilns māju skaits. Ir 10 x 30 = 300 veidi, kā iegūt pilnu māju vienā rullī.

Tagad pilnas mājas varbūtība ir vienkāršs dalījuma aprēķins. Tā kā ir 300 veidi, kā vienā rullī pilnvērtīgi pārvietot māju, un ir iespējami 7776 ruļļi ar pieciem kauliņiem, tad pilnas mājas aprites varbūtība ir 300/7776, kas ir tuvu 1/26 un 3,85%. Tas ir 50 reizes biežāk nekā Yahtzee ripināšana vienā rullī.

Protams, ļoti iespējams, ka pirmais rullītis nav pilna māja. Ja tas tā ir, tad mums ir atļauts vēl divi ruļļi, kas daudzdzīvokļu māju padara daudz ticamāku. To iespējamību ir daudz sarežģītāk noteikt, ņemot vērā visas iespējamās situācijas, kuras būtu jāņem vērā.