Kas ir pretēji, pretrunīgi un apgriezti?

Nosacīti paziņojumi visur parādās. Matemātikā vai citur nav vajadzīgs ilgs laiks, lai iesāktu kaut ko tādu kā “Ja Lpp tad Q. ” Nosacīti paziņojumi patiešām ir svarīgi. Svarīgi ir arī paziņojumi, kas ir saistīti ar sākotnējo nosacīto paziņojumu, mainot Lpp, Q un paziņojuma noliegšana. Sākot ar oriģinālo paziņojumu, mēs nobeidzam ar trim jauniem nosacītajiem paziņojumiem, kas tiek nosaukti par pretēju, pretstats un apgriezti.

Pirms mēs definējam nosacītā apgalvojuma konversiju, pretstatījumu un apgriezto, mums jāpārbauda nolieguma tēma. Katrs paziņojums loģika ir vai nu patiesa, vai nepatiesa. Paziņojuma noliegšana nozīmē tikai vārda “nē” ievietošanu pareizajā paziņojuma daļā. Vārda “nav” pievienošana tiek veikta tā, lai tas mainītu paziņojuma patieso statusu.

Tas palīdzēs aplūkot piemēru. Paziņojums “The taisnais trīsstūris ir vienādmalu ”ir noliegums“ Labais trīsstūris nav vienādmalu. ” Negatīva “10 ir pāra skaitlis” ir apgalvojums “10 nav pāra skaitlis.” Protams, par to pēdējais piemērs, mēs varētu izmantot nepāra skaitļa definīciju un tā vietā pateikt, ka “10 ir nepāra skaitlis”. Mēs atzīmējam, ka paziņojuma patiesība ir pretēja apgalvojumam noliegums.

Mēs pārbaudīsim šo ideju abstraktākā situācijā. Kad paziņojums Lpp ir taisnība, apgalvojums “nē Lpp”Ir nepatiesa. Līdzīgi, ja Lpp ir nepatiess, tās noliegums “nēLpp" ir patiess. Neitrācijas parasti apzīmē ar tildi ~. Tāpēc tā vietā, lai rakstītu “nē Lpp”Mēs varam uzrakstīt ~Lpp.

Tagad mēs varam definēt nosacītā paziņojuma pretējo, pretstatīvo un apgriezto. Mēs sākam ar nosacītu paziņojumu “Ja Lpp tad Q.”

• Nosacītā paziņojuma pretējais ir “Ja Q tad Lpp.”
• Nosacītā paziņojuma pretstats ir “Ja nē Q tad nē Lpp.”
• Nosacītā paziņojuma apgrieztā vērtība ir “Ja nē Lpp tad nē Q.”

Mēs redzēsim, kā šie paziņojumi darbojas ar piemēru. Pieņemsim, ka mēs sākam ar nosacītu paziņojumu “Ja pagājušajā naktī lija lietus, tad ietve ir mitra.”

• Nosacītā paziņojuma pretstats ir “Ja ietve ir mitra, tad vakar to lija.”
• Nosacītā paziņojuma pretstats ir: “Ja trotuārs nav slapjš, tad pagājušajā naktī tas nelija.”
• Nosacītā paziņojuma apgrieztā puse ir šāda: "Ja pagājušajā naktī nelija lietus, tad ietve nav mitra."

Mums var rasties jautājums, kāpēc ir svarīgi formulēt šos citus nosacītos apgalvojumus no sākotnējā. Rūpīgi apskatot iepriekš minēto piemēru, kaut kas atklājas. Pieņemsim, ka sākotnējais apgalvojums “Ja pagājušajā naktī lija lietus, tad ietve ir mitra” ir taisnība. Kuriem no pārējiem apgalvojumiem ir jābūt arī patiesiem?

• Pretēji teiktais “Ja trotuārs ir slapjš, tad vakar vakarā lija” nebūt nav taisnība. Ietve varētu būt mitra citu iemeslu dēļ.
• Apgrieztais “Ja pagājušajā naktī nelija lietus, tad ietve nav mitra” nebūt nav taisnība. Atkal tikai tas, ka nelija lietus, nenozīmē, ka ietve nav mitra.
• Kontrapozitīvs “Ja trotuārs nav slapjš, tad pagājušajā naktī tas nelija”, ir patiess paziņojums.

Tas, ko mēs redzam no šī piemēra (un ko var pierādīt matemātiski), ir tāds, ka nosacītam apgalvojumam ir tāda pati patiesības vērtība kā tā pretstatījumam. Mēs sakām, ka šie divi apgalvojumi ir loģiski līdzvērtīgi. Mēs arī redzam, ka nosacīts apgalvojums loģiski nav ekvivalents tā apgrieztajam un apgrieztajam.

Tā kā nosacīts paziņojums un tā pretstatījums ir loģiski līdzvērtīgi, mēs to varam izmantot, lai pierādītu matemātiskās teorēmas. Tā vietā, lai tieši pierādītu nosacīta paziņojuma patiesumu, mēs varam izmantot netiešās pierādīšanas stratēģiju, lai pierādītu šī paziņojuma pretrunīgumu. Kontrapozitīvie pierādījumi darbojas tāpēc, ka, ja kontrapozitīvs ir patiess, loģiskas līdzvērtības dēļ tas ir taisnība arī oriģinālajā nosacītajā paziņojumā.

Izrādās, ka, pat ja apgrieztais un apgrieztais loģiski nav ekvivalents sākotnējam nosacītajam paziņojumam, tie loģiski ir līdzvērtīgi viens otram. Tam ir vienkāršs izskaidrojums. Mēs sākam ar nosacītu paziņojumu “Ja Q tad Lpp”. Šī paziņojuma pretstats ir “Ja nē Lpp tad nē Q. ” Tā kā apgrieztais ir konversālā pretnostatījums, apgrieztais un apgrieztais ir loģiski līdzvērtīgi.