Nejauša mainīgā sadalījuma dispersija ir svarīga iezīme. Šis skaitlis norāda sadalījuma izplatību, un tas tiek atrasts, sakārtojot standarta novirze. Viena parasti izmantota diskrēta izplatīšana ir Puasona sadalījums. Mēs redzēsim, kā aprēķināt Puasona sadalījuma dispersiju ar parametru λ.
Puasona sadalījums
Puasona sadalījumus izmanto, ja mums ir kaut kāds kontinuums un šajā kontinuumā tiek uzskaitītas diskrētas izmaiņas. Tas notiek, ja ņemam vērā to cilvēku skaitu, kuri stundas laikā ierodas pie filmu biļešu tirdzniecības vietas, un seko līdzi automašīnu skaits, kas pārvietojas pa krustojumu ar četrvirzienu pieturu, vai saskaita trūkumu skaitu, kas rodas vads.
Ja šajos scenārijos mēs izdarām dažus precizējošus pieņēmumus, tad šīs situācijas atbilst Puasona procesa nosacījumiem. Pēc tam mēs sakām, ka izlases mainīgajam, kas skaita izmaiņu skaitu, ir Puasona sadalījums.
Puasona sadalījums faktiski attiecas uz bezgalīgu sadalījumu saimi. Šie sadalījumi ir aprīkoti ar vienu parametru λ. Parametrs ir pozitīvs
reālais skaitlis tas ir cieši saistīts ar gaidāmo izmaiņu skaitu, kas novērots kontinuumā. Turklāt mēs redzēsim, ka šis parametrs ir vienāds ne tikai ar nozīmē sadalījumā, bet arī sadalījuma dispersijā.Masas varbūtības funkciju Puasona sadalījumam piešķir:
f(x) = (λxe-λ)/x!
Šajā izteicienā burts e ir skaitlis un ir matemātiskā konstante ar vērtību, kas aptuveni vienāda ar 2,718281828. Mainīgais x var būt jebkurš nenegatīvs vesels skaitlis.
Dispersijas aprēķināšana
Lai aprēķinātu Puasona sadalījuma vidējo lielumu, mēs izmantojam šo sadalījumu momentu ģenerējošā funkcija. Mēs redzam, ka:
M( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!
Tagad mēs atceramies Maclaurin sēriju par eu. Tā kā jebkurš funkcijas atvasinājums eu ir eu, visi šie atvasinājumi, kas novērtēti uz nulles, dod mums 1. Rezultāts ir sērija eu = Σ un/n!.
Izmantojot Maclaurin sēriju eu, momentu ģenerējošo funkciju mēs varam izteikt nevis kā sēriju, bet gan slēgtā formā. Mēs visus terminus apvienojam ar eksponentu x. Tādējādi M(t) = eλ(et - 1).
Tagad mēs atrodam dispersiju, ņemot otro atvasinājumu M un novērtējot to pie nulles. Kopš M’(t) =λetM(t), mēs izmantojam produkta noteikumu, lai aprēķinātu otro atvasinājumu:
M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)
Mēs to novērtējam uz nulles un secinām M’’(0) = λ2 + λ. Pēc tam mēs izmantojam faktu, ka M'(0) = λ, lai aprēķinātu dispersiju.
Var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Tas parāda, ka parametrs λ ir ne tikai Puasona sadalījuma vidējais, bet arī tā dispersija.