Uzticamības intervāls starp divām iedzīvotāju proporcijām

Pārliecības intervāli ir viena daļa no secinošā statistika. Šīs tēmas pamatideja ir nezināma populācijas vērtības noteikšana parametrs izmantojot statistisko paraugu. Mēs varam ne tikai novērtēt parametra vērtību, bet arī pielāgot savas metodes, lai novērtētu atšķirību starp diviem saistītajiem parametriem. Piemēram, mēs varētu vēlēties atrast atšķirību procentos no to vīriešu balsstiesību skaita, kuri balso par ASV vīriešiem un kuri atbalsta konkrētu tiesību aktu, salīdzinot ar sievietēm, kuras balso.

Mēs redzēsim, kā veikt šāda veida aprēķinus, izveidojot ticamības intervālu starpību starp divām populācijas proporcijām. Šajā procesā mēs pārbaudīsim dažas teorijas, kas ir šī aprēķina pamatā. Mēs redzēsim dažas līdzības, kā mēs veidojam a ticamības intervāls vienai iedzīvotāju daļai kā arī a ticamības intervāls starp divu populāciju vidējo lielumu.

Pirms apskatīsim konkrēto formulu, kuru izmantosim, apsvērsim vispārējo sistēmu, kurai der šāda veida ticamības intervāls. Uzticamības intervāla veida formu, kuru mēs aplūkosim, sniedz pēc šādas formulas:

Aptuvenā +/- kļūdas robeža

Daudzi ticamības intervāli ir šāda veida. Ir divi skaitļi, kas mums jāaprēķina. Pirmā no šīm vērtībām ir parametra novērtējums. Otrā vērtība ir kļūdas robeža. Šī kļūdas robeža izriet no tā, ka mums ir aprēķins. Uzticamības intervāls nodrošina mums nezināma parametra iespējamo vērtību diapazonu.

Pirms jebkādu aprēķinu veikšanas mums jāpārliecinās, vai ir izpildīti visi nosacījumi. Lai atrastu ticamības intervālu starpību starp divām populācijas proporcijām, mums jāpārliecinās, ka:

• Mums ir divi vienkārši izlases paraugi no lielām populācijām. Šeit "liels" nozīmē, ka populācija ir vismaz 20 reizes lielāka par izlases lielumu. Izlases lielumi tiks apzīmēti ar n₁ un n₂.
• Mūsu indivīdi ir izvēlēti neatkarīgi viens no otra.
• Katrā no mūsu izlasēm ir vismaz desmit panākumi un desmit neveiksmes.

Ja pēdējā saraksta vienība nav apmierināta, iespējams, ir kaut kas pretējs. Mēs varam modificēt plus četri ticamības intervāls būvēt un iegūt pārliecinoši rezultāti. Ejot uz priekšu, mēs pieņemam, ka visi iepriekš minētie nosacījumi ir izpildīti.

Tagad mēs esam gatavi noteikt mūsu uzticības intervālu. Mēs sākam ar aprēķinu par atšķirību starp mūsu iedzīvotāju proporcijām. Abas šīs populācijas proporcijas aprēķina pēc izlases proporcijas. Šīs izlases proporcijas ir statistika, kas tiek iegūta, dalot panākumu skaitu katrā izlasē un pēc tam dalot ar attiecīgo izlases lielumu.

Pirmo iedzīvotāju proporciju apzīmē ar lpp₁. Ja panākumu skaits mūsu izlasē no šīs populācijas ir: k₁, tad mums ir parauga proporcija k₁ / n_1.

Mēs apzīmējam šo statistiku ar p̂₁. Mēs šo simbolu lasām kā "lpp₁-tas ", jo tas izskatās pēc simbola p₁ ar cepuri virsū.

Līdzīgā veidā mēs varam aprēķināt izlases daļu no mūsu otrās grupas. Šīs populācijas parametrs ir lpp₂. Ja panākumu skaits mūsu izlasē no šīs populācijas ir: k₂, un mūsu izlases proporcija ir p̂₂ = k₂ / n_2.

Šie divi statistikas dati kļūst par mūsu ticamības intervāla pirmo daļu. Gada aprēķins lpp₁ ir p̂₁. Gada aprēķins lpp₂ ir p̂_2. Tātad starpības aprēķins lpp₁ - lpp₂ ir p̂₁ - p̂_2.

Tālāk mums jāiegūst kļūdas robežas formula. Lai to izdarītu, vispirms apsvērsim: izlases sadalījums no p̂₁ . Šis ir divdomīgais sadalījums ar panākumu varbūtību lpp₁ un n₁ izmēģinājumi. Šī sadalījuma vidējais lielums ir proporcija lpp₁. Šāda veida izlases veida mainīgo standartnovirzei ir dispersija lpp₁ (1 - lpp₁ )/n₁.

P̂ izlases sadalījums₂ ir līdzīgs p̂₁ . Vienkārši mainiet visus indeksus no 1 līdz 2, un mums ir binomālais sadalījums ar vidējo p₂ un dispersija lpp₂ (1 - lpp₂ )/n₂.

Tagad mums ir nepieciešami daži rezultāti no matemātiskās statistikas, lai noteiktu p̂ izlases sadalījumu₁ - p̂₂. Šī sadalījuma vidējā vērtība ir lpp₁ - lpp₂. Sakarā ar to, ka dispersijas saskaita, mēs redzam, ka izlases sadalījuma dispersija ir lpp₁ (1 - lpp₁ )/n₁ + lpp₂ (1 - lpp₂ )/n_2. Izkliedes standartnovirze ir šīs formulas kvadrātsakne.

Ir jāveic pāris pielāgojumi. Pirmais ir tas, ka formula p̂ standartnovirzei₁ - p̂₂ izmanto nezināmus parametrus lpp₁ un lpp₂. Protams, ja mēs tiešām zinātu šīs vērtības, tad tā vispār nebūtu interesanta statistikas problēma. Mums nebūtu jānovērtē atšķirība starp lpp₁ un lpp_2.. Tā vietā mēs varētu vienkārši aprēķināt precīzu starpību.

Šo problēmu var novērst, aprēķinot standarta kļūdu, nevis standarta novirzi. Viss, kas mums jādara, ir aizstāt populācijas proporcijas ar izlases proporcijām. Standarta kļūdas tiek aprēķinātas pēc statistikas, nevis parametriem. Standarta kļūda ir noderīga, jo tā efektīvi novērtē standarta novirzi. Tas, ko mums nozīmē, ir tas, ka mums vairs nav jāzina parametru vērtība lpp₁ un lpp₂. .Tā kā šīs izlases proporcijas ir zināmas, standarta kļūdu piešķir ar šādas izteiksmes kvadrātsakni:

p̂₁ (1 - p̂₁ )/n₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/n_2.

Otrais jautājums, kas mums jārisina, ir mūsu izlases izplatīšanas īpašā forma. Izrādās, ka mēs varam izmantot parasto sadalījumu, lai tuvinātu p̂ izlases sadalījumu₁ - p̂₂. Iemesls tam ir nedaudz tehnisks, bet tas ir aprakstīts nākamajā rindkopā.

Gan p̂₁ un p̂₂ jābūt divdomīgam izlases sadalījumam. Katru no šiem divdomīgo sadalījumu var diezgan labi tuvināt ar parasto sadalījumu. Tādējādi p̂₁ - p̂₂ ir izlases mainīgais. To veido kā divu nejaušu mainīgo lineāru kombināciju. Katru no tiem tuvina ar parasto sadalījumu. Tāpēc p̂ izlases sadalījums₁ - p̂₂ arī parasti tiek izplatīts.

Mums tagad ir viss nepieciešamais, lai saliktu mūsu uzticības intervālu. Aplēse ir (p̂₁ - p̂₂) un kļūdas robeža ir z * [p̂₁ (1 - p̂₁ )/n₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/n_2.]^0.5. Vērtība, kuru mēs ievadām z * ir diktēts ar pārliecības līmeni C. Parasti izmantotās vērtības z * ir 1,645 par 90% ticamību un 1,96 par 95% ticamību. Šīs vērtības z * apzīmē standarta normālā sadalījuma daļu, kur tieši C % sadalījuma ir starp -z * un z *.

Šī formula dod ticamības intervālu starpību starp divām populācijas proporcijām:

(p₁ - p̂₂) +/- z * [p̂₁ (1 - p̂₁ )/n₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/n_2.]^0.5