Varbūtības un melu kauliņš

Daudzas azartspēles var analizēt, izmantojot varbūtības matemātiku. Šajā rakstā mēs apskatīsim dažādus spēles ar nosaukumu Liar’s Dice aspektus. Pēc šīs spēles aprakstīšanas mēs aprēķināsim ar to saistītās varbūtības.

Spēle Liar’s Dice patiesībā ir spēļu saime, kas saistīta ar blefošanu un maldināšanu. Šai spēlei ir vairāki varianti, un tai ir vairāki dažādi nosaukumi, piemēram, Pirate’s Dice, Deception un Dudo. Šīs spēles versija tika demonstrēta filmā Karību jūras pirāti: Dead Man’s Chest.

Spēles versijā, kuru mēs pārbaudīsim, katram spēlētājam ir kauss un viena un tā paša kauliņu skaita komplekts. Kauliņi ir standarta, sešpusēji kauliņi, kas numurēti no viena līdz sešiem. Ikviens ripina savus kauliņus, turot tos aizsedz ar kausu. Piemērotā laikā spēlētājs aplūko savu kauliņu komplektu, turot tos paslēptus no visiem pārējiem. Spēle ir veidota tā, lai katram spēlētājam būtu perfektas zināšanas par savu kauliņu komplektu, bet viņam nav zināšanu par pārējām ripām.

Pēc tam, kad ikvienam ir bijusi iespēja aplūkot ripas kauliņus, sākas solīšana. Katrā piegājienā spēlētājam ir divas izvēles: izteikt augstāku cenu vai saukt iepriekšējo par melu. Cenas var padarīt augstākas, solot lielāku kauliņu vērtību no viena līdz sešām vai solot lielāku skaitu vienas un tās pašas kauliņu vērtības.

Piemēram, cenu “Trīs twi” var palielināt, norādot “Four twos”. To varētu arī palielināt sakot “Trīs trīs.” Kopumā ne kauliņu skaits, ne kauliņu vērtības nevar samazināties.

Tā kā lielākā daļa kauliņu ir paslēptas, ir svarīgi zināt, kā aprēķināt dažas varbūtības. Uzzinot to, ir vieglāk saprast, kādi piedāvājumi, iespējams, ir patiesi, un kādi - tie, iespējams, ir meli.

Pirmais apsvērums ir jautāt: “Cik daudz tāda paša veida kauliņu mēs gaidītu?” Piemēram, ja velmēsim piecus kauliņus, cik no tiem mēs sagaidīsim divus? Atbilde uz šo jautājumu izmanto ideju paredzamā vērtība.

Nejauša mainīgā paredzamā vērtība ir noteiktas vērtības varbūtība, kas reizināta ar šo vērtību.

Varbūtība, ka pirmais mirst divi, ir 1/6. Tā kā kauliņi ir neatkarīgi viens no otra, varbūtība, ka kāds no tiem ir divi, ir 1/6. Tas nozīmē, ka paredzamais sarullēto tvertņu skaits ir 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Protams, divu rezultātu rezultātā nav nekā īpaša. Arī kauliņu skaitā, ko mēs apsvērām, nav nekā īpaša. Ja mēs velmētu n dice, tad ir sagaidāms jebkura no sešiem iespējamiem rezultātiem skaits n/6. Šo numuru ir labi zināt, jo tas dod mums atsauces punktu, ko izmantot, apšaubot citu piedāvājumus.

Piemēram, ja mēs spēlējam melu kauliņus ar sešiem kauliņiem, jebkuras vērtības no 1 līdz 6 paredzamā vērtība ir 6/6 = 1. Tas nozīmē, ka mums vajadzētu būt skeptiskiem, ja kāds piedāvā vairāk nekā vienu vērtību. Ilgtermiņā mēs vidējo vērtētu vienu no iespējamām vērtībām.

Pieņemsim, ka mēs ripojam piecus kauliņus un mēs vēlamies atrast varbūtību, ka varētu ripot divi trīs. Varbūtība, ka mirst trīs, ir 1/6. Varbūtība, ka mirst nav trīs, ir 5/6. Šo kauliņu ruļļi ir neatkarīgi notikumi, un tāpēc mēs reizinām varbūtības kopā, izmantojot reizināšanas noteikums.

Varbūtību, ka pirmie divi kauliņi ir trīs, bet citi - trīs, nosaka šāds produkts:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Pirmie divi kauliņi, kas ir trīs, ir tikai viena iespēja. Dice, kas ir trīs, varētu būt jebkura no piecām kauliņām, kuras mēs ripojam. Mēs apzīmējam izciļņu, kas nav trīskāršs simbols *. Šādi ir divi veidi no pieciem ruļļiem:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Mēs redzam, ka ir desmit veidi, kā precīzi izlocīt divus trīs no pieciem kauliņiem.

Mēs iepriekš reizinām savu varbūtību ar 10 veidiem, kā mums var būt šāda kauliņu konfigurācija. Rezultāts ir 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Tas ir aptuveni 16%.

Tagad mēs vispārinām iepriekš minēto piemēru. Mēs apsveram ripošanas varbūtību n dice un iegūšana precīzi k kurām ir noteikta vērtība.

Tāpat kā iepriekš, varbūtība, ka mums parādīsies cipars, ir 1/6. Varbūtība, ka šis skaitlis netiks rādīts, dota papildinājuma noteikums kā 5/6. Mēs gribam k no mūsu kauliņiem, lai būtu izvēlētais skaitlis. Tas nozīmē ka n - k ir cits skaitlis, nevis tas, kuru mēs vēlamies. Pirmā varbūtība k kauliņš ir noteikts skaitlis ar otru kauliņu, nevis šis skaitlis ir:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Būtu apnicīgi, nemaz nerunājot par laikietilpīgu, uzskaitīt visus iespējamos veidus, kā ripot noteiktu kauliņu konfigurāciju. Tāpēc labāk ir izmantot mūsu skaitīšanas principus. Izmantojot šīs stratēģijas, mēs redzam, ka mēs rēķināmies kombinācijas.

Ir C (n, k) ripošanas veidi k no noteikta veida kauliņiem no n kauliņš. Šo skaitli piešķir formula n!/(k!(n - k)!)

Visu saliekot kopā, mēs redzam, ka, ripojot n dice, varbūtība, ka tieši tā k no tiem ir noteikts skaitlis, ko piešķir formula:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Ir vēl viens veids, kā apsvērt šāda veida problēmas. Tas ietver divdomīgais sadalījums ar veiksmes varbūtību, ko lpp = 1/6. Formula precīzi k no šiem kauliņiem, kas ir noteikts skaitlis, ir zināma kā binomija masas varbūtības funkcija izplatīšana.

Vēl viena situācija, kas mums būtu jāapsver, ir varbūtība, ka tiks slīdēts vismaz noteikts skaits noteiktas vērtības. Piemēram, kad velmējam piecus kauliņus, kāda ir varbūtība vismaz trīs ripošanai? Mēs varētu satīt trīs, četrus vai piecus. Lai noteiktu varbūtību, kuru vēlamies atrast, mēs saskaitām trīs varbūtības.

Zemāk ir tabula par varbūtībām precīzi iegūt k ar noteiktu vērtību, kad velmējam piecus kauliņus.

Tālāk mēs apsveram šādu tabulu. Tas dod vismaz noteikta vērtības skaitļa ripināšanas varbūtību, kad kopā ripinām piecus kauliņus. Mēs redzam, ka, lai arī ir ļoti liela iespēja, ka tiks ievilkts vismaz viens 2, tas nav tik ticams, ka apritēs vismaz četri 2.