Trīs kauliņu ripināšanas varbūtības

Dice nodrošina lieliskas ilustrācijas jēdzieni varbūtībā. Visbiežāk izmantotie kauliņi ir kubi ar sešām pusēm. Šeit mēs redzēsim, kā aprēķināt varbūtības trīs standarta kauliņu ripošanai. Aprēķināt varbūtību, ka summa iegūta ar divu kauliņu ripināšana. Pavisam ir 36 dažādi ruļļi ar diviem kauliņiem, ar jebkuru summu no 2 līdz 12.Kā mainās problēma, ja pievienojam vairāk kauliņu?

Tāpat kā vienam mirst ir seši iznākumi un diviem kauliņiem ir 6² = 36 rezultāti, trīs kauliņu ripināšanas varbūtības eksperimentam ir 6³ = 216 rezultāti. Šī ideja vispārina vēl vairāk kauliņu. Ja mēs roll n dice tad ir 6ⁿ iznākumi.

Varam arī apsvērt iespējamās summas, ko rada vairāku kauliņu ripināšana. Mazākā iespējamā summa rodas, ja visi kauliņi ir vismazākie vai katrs pa vienam. Tas dod trīs summu, kad velmējam trīs kauliņus. Lielākais skaitlis mirstīgajā ir seši, kas nozīmē, ka vislielākā iespējamā summa rodas, ja visi trīs kauliņi ir seši. Šīs situācijas summa ir 18.

Kad n kauliņus velmē, ir vismazākā iespējamā summa n un lielākā iespējamā summa ir 6n.

• Ir viens iespējams veids, kā trīs kauliņi var saskaitīt 3
• 3 veidi 4
• 6 par 5
• 10 par 6
• 15 par 7
• 21 par 8
• 25 par 9
• 27 par 10
• 27 par 11
• 25 par 12
• 21 par 13
• 15 par 14
• 10 par 15
• 6 par 16
• 3 uz 17
• 1 uz 18

Kā apspriests iepriekš, trīs kauliņiem iespējamās summas ietver katru skaitli no trim līdz 18. Varbūtības var aprēķināt, izmantojot skaitīšanas stratēģijas un atzīstot, ka mēs meklējam veidus, kā sadalīt skaitli tieši trijos veselos skaitļos. Piemēram, vienīgais veids, kā iegūt trīs summu, ir 3 = 1 + 1 + 1. Tā kā katrs veidnis ir neatkarīgs no citiem, tādu summu kā četri var iegūt trīs dažādos veidos:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Turpmākus skaitīšanas argumentus var izmantot, lai atrastu pārējo summu aprēķināšanas veidu skaitu. Katrai summai ir šādi sadalījumi:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Kad nodalījumu veido trīs dažādi skaitļi, piemēram, 7 = 1 + 2 + 4, ir 3! (3x2x1) dažādi veidi permutēšana šie skaitļi. Tātad tas tiek ņemts vērā, ņemot vērā trīs rezultātus izlases telpā. Ja nodalījumu veido divi atšķirīgi skaitļi, tad ir trīs dažādi šo skaitļu saglabāšanas veidi.

Kopējo katras summas iegūšanas veidu skaitu mēs dalām ar kopējo rezultātu skaitu parauga telpa, vai 216. lpp. Rezultāti:

• Varbūtība, ka summa būs 3: 1/216 = 0,5%
• Varbūtība, ka summa būs 4: 3/216 = 1,4%
• Varbūtība par summu 5: 6/216 = 2,8%
• Varbūtība, ka summa ir 6: 10/216 = 4,6%
• Varbūtība, ka summa būs 7: 15/216 = 7,0%
• Varbūtība summai 8: 21/216 = 9,7%
• Varbūtība, ka summa būs 9: 25/216 = 11,6%
• Varbūtība, ka summa būs 10: 27/216 = 12,5%
• Varbūtība, ka summa būs 11: 27/216 = 12,5%
• Varbūtība summai 12: 25/216 = 11,6%
• Varbūtība summai 13: 21/216 = 9,7%
• Varbūtība, ka summa būs 14: 15/216 = 7,0%
• Varbūtība summai 15: 10/216 = 4,6%
• Varbūtība, ka summa ir 16: 6/216 = 2,8%
• Varbūtība, ka summa būs 17: 3/216 = 1,4%
• Varbūtība summai 18: 1/216 = 0,5%

Kā redzams, vismazākās iespējamās vērtības ir 3 un 18. Visticamākās ir summas, kas atrodas tieši pa vidu. Tas atbilst tam, kas tika novērots, ripinot divus kauliņus.