Viļņu matemātiskās īpašības

Fiziski viļņi vai mehāniskie viļņi, veidojas caur barotnes vibrāciju, vai tā būtu virkne, Zemes garoza vai gāzu un šķidrumu daļiņas. Viļņiem ir matemātiskas īpašības, kuras var analizēt, lai saprastu viļņa kustību. Šis raksts iepazīstina ar šīm vispārīgajām viļņu īpašībām, nevis par to, kā tās pielietot īpašās fizikas situācijās.

Ir divu veidu mehāniskie viļņi.

A ir tāda, ka barotnes pārvietojumi ir perpendikulāri (šķērsvirzienā) pret viļņa pārvietošanās virzienu pa barotni. Virzot virkni periodiskā kustībā, tāpēc viļņi pārvietojas pa to, ir šķērsvirziens, tāpat kā viļņi okeānā.

A gareniskais vilnis ir tāds, ka barotnes pārvietojumi ir turp un atpakaļ tajā pašā virzienā kā pats vilnis. Skaņas viļņi, kur gaisa daļiņas virzās gar kustības virzienu, ir gareniskā viļņa piemērs.

Kaut arī šajā rakstā aplūkotie viļņi attiecas uz pārvietošanos vidē, šeit ieviesto matemātiku var izmantot, lai analizētu nemehānisko viļņu īpašības. Piemēram, elektromagnētiskais starojums var iziet cauri tukšai vietai, bet tam joprojām ir tādas pašas matemātiskās īpašības kā citiem viļņiem. Piemēram,

1. Viļņus var uzskatīt par traucējumiem vidē ap līdzsvara stāvokli, kas parasti ir miera stāvoklī. Šī traucējuma enerģija ir tā, kas izraisa viļņa kustību. Ūdens baseins ir līdzsvarā, kad nav viļņu, bet, tiklīdz tajā tiek izmests akmens, daļiņu līdzsvars tiek traucēts un sākas viļņu kustība.
2. Traucē viļņa kustība, vai propogati, ar noteiktu ātrumu, ko sauc par viļņa ātrums (v).
3. Viļņi transportē enerģiju, bet tai nav nozīmes. Pats medijs neceļo; ap atsevišķām daļiņām tiek veikta kustība uz priekšu un atpakaļ vai uz augšu un uz leju ap līdzsvara stāvokli.

Lai matemātiski aprakstītu viļņu kustību, mēs atsaucamies uz jēdzienu a viļņu funkcija, kas jebkurā laikā apraksta daļiņas atrašanās vietu barotnē. Visvienkāršākās viļņu funkcijas ir sinusoidālais jeb sinusoidālais vilnis, kas ir a periodiskais vilnis (t.i., vilnis ar atkārtotu kustību).

Svarīgi atzīmēt, ka viļņa funkcija neatspoguļo fizisko vilni, bet drīzāk ir nobīdes grafiks par līdzsvara stāvokli. Tas var būt mulsinošs jēdziens, bet noderīgi ir tas, ka mēs varam izmantot sinusoidālu vilni, lai attēlotu periodiskākos kustības, piemēram, pārvietošanās pa apli vai svārsta šūpošana, kas, aplūkojot faktisko, nebūt neizskatās pēc viļņiem kustība.

• viļņa ātrums (v) - viļņa izplatīšanās ātrums
• amplitūda (A) - maksimālais nobīdes no līdzsvara lielums SI metros. Kopumā tas ir attālums no viļņa līdzsvara viduspunkta līdz tā maksimālajam pārvietojumam, vai arī tas ir puse no kopējā viļņa pārvietojuma.
• periods (T) - ir viena viļņa cikla laiks (divi impulsi vai no cekuls līdz cekram vai no siles līdz siles), izteikts sekundes SI vienībās (lai arī to var apzīmēt kā "sekundes vienā ciklā").
• biežums (f) - ciklu skaits laika vienībā. SI frekvences vienība ir hercs (Hz) un

  1 Hz = 1 cikls / s = 1 s^-1

• leņķiskā frekvence (ω) - ir 2π reizes biežums, SI radiāna vienībās sekundē.
• viļņa garums (λ) - attālums starp jebkuriem diviem punktiem atbilstošās pozīcijās secīgos viļņa atkārtojumos, piemēram (no vienas malas vai pie malas līdz nākamajai) SI vienības metru.
• viļņa numurs (k) - ko sauc arī par izplatīšanās konstante, šo lietderīgo daudzumu definē kā 2 π dalīts ar viļņa garumu, tāpēc SI vienības ir radiāni uz metru.
• pulss - viena pusviļņa garumā no līdzsvara stāvokļa atpakaļ

Daži noderīgi vienādojumi, nosakot iepriekš minētos lielumus:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Punkta vertikālais stāvoklis uz viļņa, y, var atrast kā horizontālā stāvokļa funkciju, x, un laiks, t, kad mēs to skatāmies. Mēs pateicamies laipnajiem matemātiķiem par šī darba veikšanu mūsu labā un iegūstam šādus noderīgus vienādojumus, lai aprakstītu viļņu kustību:

y(x, t) = A grēks ω(t - x/v) = A grēks 2π f(t - x/v)

y(x, t) = A grēks 2π(t/T - x/v)

y (x, t) = A grēks (ω t - kx)

Viena no viļņu funkcijas iezīmēm ir piemērošana aprēķins lai ņemtu otro atvasinājumu, iegūst viļņu vienādojums, kas ir intriģējošs un reizēm noderīgs produkts (par kuru mēs vēlreiz pateiksimies matemātiķiem un pieņemam tos nepierādot):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

Otrais atvasinājums y attiecībā uz x ir līdzvērtīgs y attiecībā uz t dalīts ar viļņa ātrumu kvadrātā. Šī vienādojuma galvenā lietderība ir tā ikreiz, kad tas notiek, mēs zinām, ka šī funkcija y darbojas kā vilnis ar viļņu ātrumu v un tāpēc, situāciju var aprakstīt, izmantojot viļņu funkciju.