Divdimensiju kinemātika: kustība plaknē

Šis raksts izklāsta pamatjēdzienus, kas nepieciešami, lai analizētu objektu kustību divās dimensijās, neņemot vērā spēkus, kas izraisa iesaistīto paātrinājumu. Šāda veida problēmu piemērs ir bumbiņas mešana vai lielgabala lodes šaušana. Tā pieņem, ka pārzina viendimensionālā kinemātika, jo tas paplašina tos pašus jēdzienus divdimensiju vektoru telpā.

Kinemātika ietver pārvietojumu, ātrumu un paātrinājumu, kas visi ir vektoru daudzumi kas prasa gan lielumu, gan virzienu. Tāpēc, lai sāktu problēmu divdimensiju kinemātikā, vispirms jādefinē koordinātu sistēma jūs izmantojat. Parasti tas notiks ar x-aksis un a y-aksis, kas orientēts tā, lai kustība notiktu pozitīvā virzienā, kaut arī var būt apstākļi, kad šī nav labākā metode.

Gadījumos, kad tiek apsvērta gravitācija, parasti tiek noteikts, ka smaguma virziens ir negatīvs -y virziens. Šī ir konvencija, kas parasti vienkāršo problēmu, lai gan, ja jūs patiešām vēlaties, aprēķinus varētu veikt ar atšķirīgu orientāciju.

Pozīcijas vektors r ir vektors, kas iet no koordinātu sistēmas sākuma vietas uz noteiktu punktu sistēmā. Pozīcijas izmaiņas (Δr, izrunā "Delta r") ir atšķirība starp sākuma punktu (r₁) līdz galapunktam (r₂). Mēs definējam vidējais ātrums (v_av) kā:

v_av = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

Ņemot robežu kā Δt tuvojas 0, mēs sasniedzam momentānais ātrumsv. Aprēķinot, tas ir atvasinājums r attiecībā uz t, vai dr/dt.

Tā kā laika starpība samazinās, sākuma un beigu punkti tuvinās. Kopš r ir tāds pats virziens kā v, kļūst skaidrs, ka momentānais ātruma vektors katrā ceļa posmā ir pieskaras ceļam.

Vektora lielumu noderīga iezīme ir tā, ka tos var sadalīt savos komponentu vektoros. Vektora atvasinājums ir tā komponentu atvasinājumu summa, tāpēc:

v_x = dx/dt
v_y = dy/dt

Ātruma vektora lielumu Pitagora teorēma norāda formā:

|v| = v = sqrt (v_x² + v_y²)

Virziens v ir orientēts alfa grādi pretēji pulksteņa rādītāja virzienam no x-komponents, un to var aprēķināt pēc šāda vienādojuma:

iedegums alfa = v_y / v_x

Paātrinājums ir ātruma izmaiņas noteiktā laika posmā. Līdzīgi kā iepriekš aprakstītā analīze, mēs atklājam, ka tas ir Δv/Δt. Tā kā Δ robežat tuvojoties 0, iegūst atvasinājumu v attiecībā uz t.

Komponentu izteiksmē paātrinājuma vektoru var uzrakstīt šādi:

a_x = dv_x/dt
a_y = dv_y/dt

vai

a_x = d²x/dt²
a_y = d²y/dt²

Lielums un leņķis (apzīmēts ar beta atšķirt no alfa) no neto paātrinājuma vektora aprēķina ar komponentiem, līdzīgi ātruma komponentiem.

Bieži vien divdimensiju kinemātika ietver attiecīgo vektoru sadalīšanu savos x- un y-komponentiem, pēc tam analizējot katru no komponentiem, it kā tie būtu viendimensionāli gadījumi. Kad šī analīze ir pabeigta, ātruma un / vai paātrinājuma komponenti tiek atkal apvienoti kopā, lai iegūtu iegūtos divdimensiju ātruma un / vai paātrinājuma vektorus.

Iepriekš minētos vienādojumus var paplašināt kustībai trīs dimensijās, pievienojot a z-analīzes sastāvdaļa. Tas parasti ir diezgan intuitīvs, lai gan ir jāpievērš uzmanība tam, lai pārliecinātos, ka tas tiek izdarīts pareizā formātā, it īpaši attiecībā uz vektora orientācijas leņķa aprēķināšanu.

Rediģēja Anne Marie Helmenstine, Ph.