Viens populārs veids, kā izpētīt varbūtību, ir kauliņu ripināšana. Standarta formātā ir sešas malas, uz kurām ir maz punktu ar cipariem 1, 2, 3, 4, 5 un 6. Ja mirst taisnīgi (un mēs to darīsim pieņemt ka visi tie ir), tad katrs no šiem rezultātiem ir vienlīdz ticams. Tā kā ir seši iespējamie iznākumi, varbūtība iegūt jebkuru no izciļņu malām ir 1/6. Ritēšanas a 1 varbūtība ir 1/6, ritošā 2 varbūtība ir 1/6 utt. Bet kas notiek, ja mēs pievienojam vēl vienu die? Kādas ir varbūtības, ripinot divus kauliņus?
Dice roll varbūtība
Lai pareizi noteiktu kauliņu ripošanas varbūtību, mums jāzina divas lietas:
- Izmērs parauga telpa vai kopējo iespējamo rezultātu kopums
- Cik bieži notiek kāds notikums
Iekšā varbūtība, notikums ir noteikta parauga telpas apakškopa. Piemēram, kad tiek velmēts tikai viens veidnis, kā tas parādīts iepriekš, parauga laukums ir vienāds ar visām vērtnes vai komplekta vērtībām (1, 2, 3, 4, 5, 6). Tā kā izciļnis ir taisnīgs, katrs komplekts ir tikai vienu reizi. Citiem vārdiem sakot, katra numura biežums ir 1. Lai noteiktu varbūtību, ka kāds no cipariem ripinās uz veidnes, notikuma frekvenci (1) dalīsim ar parauga laukuma lielumu (6), iegūstot varbūtību 1/6.
Divu precīzu kauliņu ripināšana vairāk nekā divkāršo varbūtību aprēķināšanas grūtības. Tas notiek tāpēc, ka vienas presformas ripināšana nav atkarīga no otrās ripināšanas. Viens rullītis neietekmē otru. Darījumos ar neatkarīgiem notikumiem mēs izmantojam reizināšanas noteikums. Koka diagrammas izmantošana parāda, ka divu kauliņu ripošanā ir 6 x 6 = 36 iespējamie rezultāti.
Pieņemsim, ka pirmais uzvelkamais veidols parādās kā 1. Otrs presēšanas rullītis var būt 1, 2, 3, 4, 5 vai 6. Tagad pieņemsim, ka pirmais mirst ir 2. Otrs presēšanas rullītis atkal varētu būt 1, 2, 3, 4, 5 vai 6. Mēs jau esam atraduši 12 iespējamos iznākumus, un mums vēl ir jāizmanto visas pirmās nāves iespējas.
Divu kauliņu ripināšanas varbūtību tabula
Divu kauliņu ripināšanas iespējamie rezultāti ir parādīti tabulā zemāk. Ņemiet vērā, ka kopējais iespējamo iznākumu skaits ir vienāds ar pirmās atloka parauga laukumu (6) pavairots pēc otrās stieples parauga laukuma (6), kas ir 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Trīs vai vairāk kauliņu
Tas pats princips ir spēkā, ja strādājam problēmas, kas saistītas ar trim kauliņiem. Mēs reizinām un redzam, ka ir 6 x 6 x 6 = 216 iespējamie rezultāti. Tā kā atkārtotās reizināšanas rakstīšana kļūst apgrūtinoša, mēs varam izmantot eksponentus, lai vienkāršotu darbu. Diviem kauliņiem ir 62 iespējamie rezultāti. Trīs kauliņiem ir 63 iespējamie rezultāti. Vispār, ja rullējam n kauliņi, tad kopā ir 6n iespējamie rezultāti.
Paraugu problēmas
Izmantojot šīs zināšanas, mēs varam atrisināt visa veida varbūtības problēmas:
1. Tiek sarullēti divi sešpusējie kauliņi. Kāda ir varbūtība, ka divu kauliņu summa ir septiņi?
Vienkāršākais veids, kā atrisināt šo problēmu, ir iepriekš sniegtā tabula. Jūs ievērosiet, ka katrā rindā ir viens kauliņu rullītis, kurā divu kauliņu summa ir vienāda ar septiņiem. Tā kā ir sešas rindas, ir seši iespējamie rezultāti, ja divu kauliņu summa ir vienāda ar septiņiem. Kopējais iespējamo iznākumu skaits joprojām ir 36. Atkal mēs atrodam varbūtību, dalot notikumu frekvenci (6) ar parauga telpas lielumu (36), iegūstot varbūtību 1/6.
2. Tiek sarullēti divi sešpusējie kauliņi. Kāda ir varbūtība, ka summa no diviem kauliņiem ir trīs?
Iepriekšējā problēmā jūs, iespējams, pamanījāt, ka šūnas, kurās divu kauliņu summa ir vienāda ar septiņām, veido diagonāli. Tas pats attiecas uz šo lietu, izņemot šo gadījumu, ir tikai divas šūnas, kurās kauliņu summa ir trīs. Tas ir tāpēc, ka ir tikai divi veidi, kā panākt šo iznākumu. Jums jāapvelk 1 un 2, vai arī 2 un 1. Kombinācijas septiņu summu aprēķināšanai ir daudz lielākas (1 un 6, 2 un 5, 3 un 4 utt.). Lai atrastu varbūtību, ka divu kauliņu summa ir trīs, mēs varam dalīt notikumu frekvenci (2) ar parauga laukuma lielumu (36), iegūstot varbūtību 1/18.
3. Tiek sarullēti divi sešpusējie kauliņi. Cik liela ir varbūtība, ka skaitļi uz kauliņiem ir atšķirīgi?
Atkal mēs varam viegli atrisināt šo problēmu, apskatot tabulu iepriekš. Jūs ievērosiet, ka šūnas, kurās kauliņu skaitļi ir vienādi, veido diagonāli. No tiem ir tikai seši, un, tiklīdz tos izsvītrojam, mums ir atlikušās šūnas, kurās kauliņu skaitļi ir atšķirīgi. Mēs varam ņemt kombināciju skaitu (30) un sadalīt to ar parauga laukuma lielumu (36), iegūstot varbūtību 5/6.