Ne visi bezgalīgie komplekti ir vienādi. Viens veids, kā atšķirt šīs kopas, ir jautāt, vai komplekts ir uzskatāms bezgalīgs vai nē. Tādā veidā mēs sakām, ka bezgalīgās kopas ir vai nu saskaitāmas, vai arī tās nav lasāmas. Mēs apsvērsim vairākus bezgalīgu kopu piemērus un noteiksim, kuri no tiem ir neuzskaitāmi.
Samērā bezgalīgs
Sākumā izslēdzam vairākus bezgalīgu kopu piemērus. Daudzas no bezgalīgajām kopām, par kurām mēs tūlīt domātu, ir uzskatāmas par bezgalīgi bezgalīgām. Tas nozīmē, ka tos var ievietot viens pret vienu ar dabiskajiem skaitļiem.
Dabiski skaitļi, veseli skaitļi un racionāli skaitļi ir visi bezgalīgi. Jebkura savienojamība vai krustojums, kas sastāv no uzskatāmi bezgalīgas kopas, ir arī saskaitāma. Katrā ziņā ir saskaitāms Dekarta produkts. Jebkura skaitāmās kopas apakškopa ir arī saskaitāma.
Neskaitāms
Visizplatītākais veids, kā tiek ieviestas neskaitāmas kopas, ir, ņemot vērā intervālu (0, 1) reālie skaitļi. No šī fakta un viena pret otru funkcija f( x ) = bx + a. tas ir tiešs rezultāts, lai parādītu, ka jebkurš intervāls (
a, b) reālo skaitļu skaits ir neizsakāmi bezgalīgs.Viss reālo skaitļu komplekts ir arī neuzskaitāms. Viens veids, kā to parādīt, ir izmantot pieskares funkciju “viens pret vienu” f ( x ) = iedegums x. Šīs funkcijas domēns ir intervāls (-π / 2, π / 2), neuzskaitāma kopa, un diapazons ir visu reālo skaitļu kopa.
Citas neskaitāmas kopas
Pamata kopu teorijas operācijas var izmantot, lai iegūtu vairāk nepārprotami bezgalīgu kopu piemēru:
- Ja A ir apakškopa B un A ir neskaitāms, tad tā arī ir B. Tas sniedz skaidrāku pierādījumu tam, ka viss reālo skaitļu komplekts ir neizskaitāms.
- Ja A ir neskaitāms un B ir jebkurš komplekts, tad savienība A U B ir arī neskaitāms.
- Ja A ir neskaitāms un B ir jebkurš komplekts, pēc tam Dekarta izstrādājums A x B ir arī neskaitāms.
- Ja A ir bezgalīgs (pat neskaitāmi bezgalīgs), tad barošanas komplekts no A ir neskaitāms.
Divi citi savstarpēji saistīti piemēri ir nedaudz pārsteidzoši. Ne katra reālo skaitļu apakškopa ir neizsakāmi bezgalīga (patiesi, racionālie skaitļi veido reālām skaitāmu apakškopu, kas arī ir blīva). Dažas apakškopas ir bezgalīgi bezgalīgas.
Viena no šīm neapšaubāmi bezgalīgajām apakškopām ietver noteikta veida decimāldaļas paplašinājumus. Ja mēs izvēlamies divus ciparus un veidojam katru iespējamo decimālo paplašinājumu tikai ar šiem diviem cipariem, tad iegūtā bezgalīgā kopa ir neuzskaitāma.
Citu komplektu ir sarežģītāk uzbūvēt, un tas ir arī neuzskaitāms. Sāciet ar slēgto intervālu [0,1]. Noņemiet šī komplekta vidējo trešdaļu, iegūstot [0, 1/3] U [2/3, 1]. Tagad noņemiet katra atlikušā komplekta vidējo trešdaļu. Tātad (1/9, 2/9) un (7/9, 8/9) tiek noņemti. Mēs turpinām šādā veidā. Punktu kopa, kas paliek pēc visu šo intervālu noņemšanas, nav intervāls, tomēr tas ir neapšaubāmi bezgalīgs. Šo komplektu sauc par kantora komplektu.
Ir bezgalīgi daudz neskaitāmu komplektu, taču iepriekš minētie piemēri ir daži no visbiežāk sastopamajiem komplektiem.