Vektormatemātika: vienkāršs, bet visaptverošs ievads

Šis ir pamata, lai arī, cerams, diezgan visaptverošs, ievads darbam ar vektoriem. Vektori izpaužas ļoti dažādos veidos, sākot ar pārvietojumu, ātrumu un paātrinājumu līdz spēkiem un laukiem. Šis raksts ir veltīts vektoru matemātikai; to piemērošana īpašās situācijās tiks apskatīta citur.

A vektora daudzums, vai vektors, sniedz informāciju ne tikai par daudzuma lielumu, bet arī par daudzuma virzienu. Sniedzot norādes mājai, nepietiek tikai teikt, ka tā atrodas 10 jūdžu attālumā, taču, lai informācija būtu noderīga, ir jāsniedz arī šo 10 jūdžu virziens. Mainīgie, kas ir vektori, tiks apzīmēti ar treknrakstu mainīgo lielumu, lai gan parasti virs mainīgā tiek rādīti vektori, kas apzīmēti ar mazām bultiņām.

Tāpat kā mēs nesakām, ka otra māja ir -10 jūdžu attālumā, vektora lielums vienmēr ir pozitīvs skaitlis vai drīzāk vektora "garuma" absolūtā vērtība (lai gan lielums nedrīkst būt garums, tas var būt ātrums, paātrinājums, spēks utt.) Negatīvs vektora priekšā nenorāda uz lieluma izmaiņām, bet drīzāk uz vektors.

Iepriekšminētajos piemēros attālums ir skalārā lieluma (10 jūdzes), bet pārvietojums ir vektora daudzums (10 jūdzes uz ziemeļaustrumiem). Līdzīgi ātrums ir skalārs lielums, savukārt ātrums ir a vektors daudzums.

A vienības vektors ir vektors, kura lielums ir viens. Vienību vektoru attēlojošs vektors parasti ir arī treknrakstā, kaut arī tam būs karāts (^) virs tā, lai norādītu mainīgā vienības raksturu. Vienības vektors x, rakstot ar karātu, parasti tiek saprasts kā "x-hat", jo karāts uz mainīgā izskatās kā cepure.

nulles vektors, vai nulles vektors, ir vektors ar nulles amplitūdu. Tas ir rakstīts kā 0 šajā rakstā.

Vektori parasti ir orientēti uz koordinātu sistēmu, no kuras populārākā ir divdimensiju Dekarta plakne. Dekarta plaknei ir horizontāla ass, kas apzīmēta ar x, un vertikāla ass, kas apzīmēta ar y. Dažiem progresīviem vektoru pielietojumiem fizikā ir nepieciešams izmantot trīsdimensiju telpu, kurā asis ir x, y un z. Šis raksts galvenokārt attieksies uz divdimensiju sistēmu, lai gan jēdzienus ar nelielu rūpību var paplašināt līdz trīs dimensijām bez pārāk lielām grūtībām.

Daudzdimensiju koordinātu sistēmu vektorus var sadalīt savos komponentu vektori. Divdimensiju gadījumā tas rada a x-komponents un a y-komponents. Sadalot vektoru tā komponentos, vektors ir sastāvdaļu summa:

F = F_x + F_y

tetaF_xF_yF

F_x / F = cos teta un F_y / F = grēks tetakas dod mums
F_x = F cos teta un F_y = F grēks teta

Ņemiet vērā, ka skaitļi šeit ir vektoru lielumi. Mēs zinām sastāvdaļu virzienu, bet mēs cenšamies atrast to lielumu, tāpēc mēs noņemam virziena informāciju un veicam šos skalāros aprēķinus, lai noskaidrotu lielumu. Turpmāku trigonometrijas pielietojumu var izmantot, lai atrastu citas attiecības (piemēram, pieskares), kas saistītas ar dažiem no šiem lielumiem, bet es domāju, ka ar to šobrīd pietiek.

Daudzus gadus vienīgā matemātika, ko students apgūst, ir skalārā matemātika. Ja ceļojat 5 jūdzes uz ziemeļiem un 5 jūdzes uz austrumiem, esat nobraukuši 10 jūdzes. Pievienojot skalāros daudzumus, tiek ignorēta visa informācija par virzieniem.

Ar vektoriem manipulē nedaudz savādāk. Veicot manipulācijas ar tiem, vienmēr jāņem vērā virziens.

Kad pievienojat divus vektorus, it kā jūs būtu paņēmis vektorus un novietojuši tos no gala līdz galam un izveidojuši jaunu vektoru, kas darbojas no sākuma punkta līdz gala punktam. Ja vektoriem ir vienāds virziens, tad tas nozīmē tikai lielumu pievienošanu, bet, ja tiem ir dažādi virzieni, tas var kļūt sarežģītāks.

Jūs pievienojat vektorus, sadalot tos to komponentos un pēc tam pievienojot komponentus, kā aprakstīts zemāk:

a + b = c
a_x + a_y + b_x + b_y =
( a_x + b_x) + ( a_y + b_y) = c_x + c_y

Divu x-komponentu rezultāts būs jaunā mainīgā x-komponents, savukārt divu y-komponentu rezultāts būs jaunā mainīgā y-komponents.

Nav nozīmes secībai, kādā pievienojat vektorus. Faktiski vektoru pievienošanai ir vairākas īpašības no skalārā pievienojuma:

Identitātes īpašība vektora papildinājumam
a + 0 = a
Vektoru pievienošanas apgrieztais īpašums
a + -a = a - a = 0
Vektora pievienošanas atstarojošais īpašums
a = a
Komutācijas īpašums papildinājums
a + b = b + a
Vektora papildinājuma asociatīvais īpašums
(a + b) + c = a + (b + c)
Vektora pievienošanas pārejas īpašums
Ja a = b un c = b, tad a = c

Vienkāršākā darbība, ko var veikt ar vektoru, ir tās reizināšana ar skalāru. Šī skalārā reizināšana maina vektora lielumu. Citiem vārdiem sakot, tas padara vektoru garāku vai īsāku.

Reizinot negatīvo skalāru reizes, iegūtais vektors norāda pretējā virzienā.

skalārs produkts no diviem vektoriem ir veids, kā tos reizināt, lai iegūtu skalāru daudzumu. Tas tiek uzrakstīts kā abu vektoru reizinājums ar punktu vidū, kas apzīmē reizinājumu. Kā tādu to bieži sauc par dot produkts no diviem vektoriem.

Lai aprēķinātu divu vektoru punktu rezultātu, ņem vērā leņķi starp tiem. Citiem vārdiem sakot, ja viņiem būtu vienāds sākuma punkts, kāds būtu leņķa mērījums (teta) starp viņiem. Punktprodukts tiek definēts kā:

a * b = ab cos teta

ababba

Gadījumos, kad vektori ir perpendikulāri (vai teta = 90 grādi), cos teta būs nulle. Tāpēc perpendikulāru vektoru punktu reizinājums vienmēr ir nulle. Kad vektori ir paralēli (vai teta = 0 grādi), cos teta ir 1, tāpēc skalārā korekcija ir tikai lielumu reizinājums.

Šie mazie fakti var tikt izmantoti, lai pierādītu, ka, ja jūs zināt komponentus, jūs varat pilnībā novērst vajadzību pēc teta ar (divdimensiju) vienādojumu:

a * b = a_x b_x + a_y b_y

vektoru produkts ir uzrakstīts formā a x b, un to parasti sauc par sakrustots produkts no diviem vektoriem. Šajā gadījumā mēs reizinām vektorus un tā vietā, lai iegūtu skalāru daudzumu, mēs iegūsim vektoru daudzumu. Šis ir vissarežģītākais no vektoru aprēķiniem, ar kuriem mēs nodarbosimies, kā tas ir nē komutācijas un ietver dreaded izmantošanu labās puses likums, pie kuras es nokļūšu drīz.

Atkal mēs uzskatām divus vektorus, kas novilkti no tā paša punkta ar leņķi teta starp viņiem. Mēs vienmēr ņemam vismazāko leņķi, tāpēc teta vienmēr būs diapazonā no 0 līdz 180, un rezultāts nekad nebūs negatīvs. Iegūtā vektora lielumu nosaka šādi:

Ja c = a x b, tad c = ab grēks teta

Paralēlu (vai antiparalēlu) vektoru vektorprodukts vienmēr ir nulle

Vektora produkts būs perpendikulārs plaknei, kas izveidota no šiem diviem vektoriem. Ja attēlojat plakni kā līdzenu uz galda, rodas jautājums, vai iegūtais vektors iet uz augšu (mūsu galda "no ārpuses" no mūsu perspektīvas) vai uz leju (vai "uz" tabulu no mūsu puses) perspektīva).

Lai to izdomātu, jums jāpiemēro tā sauktais labās puses likums. Kad skolā mācījos fiziku, es ienīst labās puses likums. Katru reizi, kad to izmantoju, man bija jāizvelk grāmata, lai uzmeklētu, kā tā darbojas. Es ceru, ka mans apraksts būs nedaudz intuitīvāks nekā tas, ar kuru es tiku iepazīstināts.

Ja Jums ir a x b jūs novietosit labo roku garumā b lai pirksti (izņemot īkšķi) varētu izliekties, lai norādītu gar a. Citiem vārdiem sakot, jūs kaut kā mēģināt izveidot leņķi teta starp plaukstu un labās rokas četriem pirkstiem. Īkšķis šajā gadījumā tiks uzlīmēts taisni uz augšu (vai ārpus ekrāna, ja mēģināsit to izdarīt līdz datoram). Jūsu šarnīri būs aptuveni sakārtoti ar abu vektoru sākumpunktu. Precizitāte nav būtiska, taču es vēlos, lai jūs gūtu ideju, jo man nav priekšstata par to.

Ja tomēr jūs apsverat b x a, jūs darīsit pretējo. Jūs uzliksit labo roku a un pavērsiet pirkstus gar b. Mēģinot to izdarīt datora ekrānā, jums tas šķitīs neiespējami, tāpēc izmantojiet savu iztēli. Jūs redzēsit, ka šajā gadījumā jūsu iztēles īkšķis ir norādīts datora ekrānā. Tas ir iegūtā vektora virziens.

Labās puses noteikums parāda šādas attiecības:

a x b = - b x a

kabīne

c_x = a_y b_z - a_z b_y
c_y = a_z b_x - a_x b_z
c_z = a_x b_y - a_y b_x

abc_xc_yc

Augstākā līmenī vektori var kļūt ārkārtīgi sarežģīti darbam. Pilnīgi kursi koledžā, piemēram, lineārā algebra, daudz laika pavada matricām (no kurām es laipni izvairījos šajā ievadā), vektoriem un vektoru atstarpes. Šāda detalizācijas pakāpe pārsniedz šī raksta darbības jomu, taču tam vajadzētu būt pamatiem, kas nepieciešami lielākajai daļai manipulāciju ar vektoriem, kas tiek veikti fizikas klasē. Ja jūs plānojat padziļināti izpētīt fiziku, turpinot izglītību, jūs tiksit iepazīstināts ar sarežģītākiem vektoru jēdzieniem.