Viens dabisks jautājums, kas jāuzdod par varbūtības sadalījumu, ir: "Kāds ir tā centrs?" Paredzamā vērtība ir viens no šādiem varbūtības sadalījuma centra mērījumiem. Tā kā tas mēra vidējo vērtību, nav pārsteigums, ka šī formula ir iegūta no vidējās vērtības.
Lai noteiktu sākuma punktu, mums ir jāatbild uz jautājumu: "Kāda ir paredzamā vērtība?" Pieņemsim, ka mums ir nejaušs mainīgais, kas saistīts ar varbūtības eksperimentu. Teiksim, ka mēs šo eksperimentu atkārtojam atkal un atkal. Ilgtermiņā vairāku viena un tā paša varbūtības eksperimenta atkārtojumu laikā, ja mēs vidējo vērtētu no visām mūsu vērtībām izlases mainīgais, mēs iegūtu gaidīto vērtību.
Turpmāk mēs redzēsim, kā izmantot formulu paredzētajai vērtībai. Mēs apskatīsim gan diskrētos, gan nepārtrauktos iestatījumus un redzēsim formulu līdzības un atšķirības.
Diskrēta izlases veida mainīgā formula
Sākumā analizējam diskrēto gadījumu. Dots diskrēts izlases mainīgais X, pieņemsim, ka tai ir vērtības x1, x2, x3,... xn, un atbilstošās varbūtības
lpp1, lpp2, lpp3,... lppn. Tas ir teikt, ka varbūtības masas funkcija šim nejaušajam mainīgajam dod f(xi) = lppi.Paredzamā vērtība X aprēķina pēc formulas:
E (X) = x1lpp1 + x2lpp2 + x3lpp3 +... + xnlppn.
Izmantojot varbūtības masas funkciju un summēšanas notāciju, mēs varam kompakti uzrakstīt šo formulu šādi, kur summēšanu pārņem indekss i:
E (X) = Σ xif(xi).
Šī formulas versija ir noderīga, lai redzētu, jo tā darbojas arī tad, ja mums ir bezgalīga parauga telpa. Šo formulu var viegli pielāgot arī pastāvīgam gadījumam.
Piemērs
Trīs reizes apvelciet monētu un ļaujiet X ir galvu skaits. Nejaušais mainīgais X ir diskrēta un ierobežota. Vienīgās iespējamās vērtības, kas mums var būt, ir 0, 1, 2 un 3. Tā varbūtības sadalījums ir 1/8 X = 0, 3/8 par X = 1, 3/8 par X = 2, 1/8 par X = 3. Izmantojiet paredzamās vērtības formulu, lai iegūtu:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
Šajā piemērā mēs redzam, ka ilgtermiņā no šī eksperimenta mēs iegūsim vidēji 1,5 galvas. Tas nozīmē mūsu intuīciju, jo puse no 3 ir 1,5.
Nepārtraukta nejauša mainīgā formula
Tagad mēs pārvēršamies par nepārtrauktu izlases mainīgo, kuru mēs apzīmēsim X. Mēs ļausim varbūtības blīvuma funkcijai X jāpiešķir funkcija f(x).
Paredzamā vērtība X aprēķina pēc formulas:
E (X) = ∫ x f(x) dx.
Šeit mēs redzam, ka mūsu izlases lieluma paredzamā vērtība tiek izteikta kā integrāls.
Paredzētās vērtības lietojumi
Tur ir daudz pieteikumi paredzētajai vērtībai izlases lieluma. Šī formula rada interesantu izskatu Sanktpēterburgas paradokss.