Risinājumi skaitīšanas problēmu izaicināšanai

Skaitīšana var šķist viegli izpildāms uzdevums. Tā kā mēs iedziļināmies matemātika zināms kā kombinatorika, mēs saprotam, ka mēs sastopamies ar lielu skaitu cilvēku. Kopš faktoriālais tiek parādīts tik bieži, un skaitlis, piemēram, 10! ir lielāks par trim miljons, problēmu skaitīšana var ļoti ātri kļūt sarežģīta, ja mēģinām uzskaitīt visas iespējas.

Dažreiz, apsverot visas iespējas, kuras var izmantot mūsu skaitīšanas problēmas, ir vieglāk pārdomāt problēmas pamatprincipus. Šī stratēģija var aizņemt daudz mazāk laika nekā brutāla spēka mēģināšana uzskaitīt vairākus kombinācijas vai permutācijas.

Jautājums "Cik daudzos veidos kaut ko var izdarīt?" ir pilnīgi atšķirīgs jautājums no “Kādi ir veidi ka kaut ko var izdarīt? "Mēs redzēsim šo ideju darbā šādā izaicinājumu skaitīšanas komplektā problēmas.

Šis jautājumu kopums ietver vārdu TRIANGLE. Ņemiet vērā, ka pavisam ir astoņi burti. Ļaujiet saprast, ka patskaņi vārda TRIANGLE ir AEI, un vārda TRIANGLE līdzskaņi ir LGNRT. Lai saprastu īstu izaicinājumu, pirms tālāk lasīšanas pārbaudiet šo problēmu versiju bez risinājumiem.

1. Cik veidos var izkārtot vārda TRIANGLE burtus?
   Risinājums: Šeit ir pavisam astoņi izvēles varianti pirmajam burtam, septiņi otrajam, seši trešajam utt. Pēc reizināšanas principa mēs reizinām, lai kopā būtu 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40320 dažādi veidi.
2. Cik dažādos veidos var izkārtot vārda TRIANGLE burtus, ja pirmajiem trim burtiem jābūt RAN (tieši tādā secībā)?
   Risinājums: Mums ir izvēlēti pirmie trīs burti, atstājot piecus burtus. Pēc RAN mums ir piecas izvēles nākamajai vēstulei, kam seko četras, tad trīs, tad divas, tad viena. Pēc reizināšanas principa ir 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 veidi, kā sakārtot burtus noteiktā veidā.
3. Cik dažādos veidos var izkārtot vārda TRIANGLE burtus, ja pirmajiem trim burtiem jābūt RAN (jebkurā secībā)?
   Risinājums: Raugieties uz to kā uz diviem neatkarīgiem uzdevumiem: pirmais sakārto burtus RAN un otrais sakārto pārējos piecus burtus. Ir 3! = 6 veidi, kā sakārtot RAN, un 5! Pārējo piecu burtu sakārtošanas veidi. Tātad ir pavisam 3! x 5! = 720 veidi, kā sakārtot TRIANGLE burtus, kā norādīts.
4. Cik dažādos veidos var izkārtot vārda TRIANGLE burtus, ja pirmajiem trim burtiem jābūt RAN (jebkurā secībā) un pēdējiem burtiem jābūt ar patskani?
   Risinājums: Aplūkojiet to kā trīs uzdevumus: pirmais sakārto burtus RAN, otrais izvēlas vienu patskaņu no I un E un trešais sakārto pārējos četrus burtus. Ir 3! = 6 veidi, kā sakārtot RAN, 2 veidi, kā izvēlēties patskani no atlikušajiem burtiem un 4! Pārējo četru burtu sakārtošanas veidi. Tātad ir pavisam 3! X 2 x 4! = 288 veidi, kā sakārtot TRIANGLE burtus, kā norādīts.
5. Cik dažādos veidos var izkārtot vārda TRIANGLE burtus, ja pirmajiem trim burtiem jābūt RAN (jebkurā secībā), bet nākamajiem trim burtiem jābūt TRI (jebkurā secībā)?
   Risinājums: Atkal mums ir trīs uzdevumi: pirmais sakārto burtus RAN, otrais sakārto burtus TRI un trešais sakārto abus pārējos burtus. Ir 3! = 6 veidi, kā sakārtot RAN, 3! veidi, kā sakārtot TRI, un divi veidi, kā sakārtot pārējās vēstules. Tātad ir pavisam 3! x 3! X 2 = 72 veidi, kā sakārtot TRIANGLE burtus, kā norādīts.
6. Cik dažādos veidos var izkārtot vārda TRIANGLE burtus, ja patskaņu IAE secību un izvietojumu nevar mainīt?
   Risinājums: Trīs patskaņi jāsaglabā tādā pašā secībā. Tagad sakārtot ir pavisam pieci līdzskaņi. To var izdarīt 5! = 120 veidi.
7. Cik dažādos veidos var izkārtot vārda TRIANGLE burtus, ja patskaņu secība IAE nevar var tikt mainīti, kaut arī to izvietojums var būt (IAETRNGL un TRIANGEL ir pieņemami, bet EIATRNGL un TRIENGLA ir nav)?
   Risinājums: Vislabāk to domā divos posmos. Pirmais solis ir izvēlēties vietas, uz kurām patskaņi iet. Šeit mēs izvēlamies trīs vietas no astoņām, un secība, kā mēs to darām, nav svarīga. Šī ir kombinācija, un to ir pavisam C(8,3) = 56 veidi, kā veikt šo darbību. Atlikušos piecus burtus var sakārtot 5! = 120 veidi. Tas dod kopā 56 x 120 = 6720 izkārtojumus.
8. Cik dažādos veidos var izkārtot vārda TRIANGLE burtus, ja var mainīt patskaņu IAE secību, kaut arī to izvietojums var nebūt?
   Risinājums: Tas tiešām ir tas pats, kas iepriekš Nr. 4, bet ar dažādiem burtiem. Mēs sakārtojam trīs burtus 3! = 6 veidi un pārējie pieci burti pa 5! = 120 veidi. Kopējais šo izkārtojumu veidu skaits ir 6 x 120 = 720.
9. Cik dažādos veidos var izkārtot sešus vārda TRIANGLE burtus?
   Risinājums: Tā kā mēs runājam par vienošanos, tā ir permutācija, un to ir pavisam Lpp( 8, 6) = 8!/2! = 20 160 veidi.
10. Cik dažādos veidos var izkārtot sešus vārda TRIANGLE burtus, ja jābūt vienādam skaļruņu un līdzskaņu skaitam?
    Risinājums: Ir tikai viens veids, kā atlasīt patskaņus, kurus mēs ievietosim. Līdzskaņu izvēli var veikt C(5, 3) = 10 veidi. Tad ir 6! veidi, kā sakārtot sešus burtus. Reiziniet šos skaitļus kopā, lai iegūtu rezultātu 7200.
11. Cik dažādos veidos var izkārtot sešus vārda TRIANGLE burtus, ja ir jābūt vismaz vienam līdzskaņam?
    Risinājums: Katrs sešu burtu izkārtojums atbilst nosacījumiem, tāpēc ir Lpp(8, 6) = 20 160 veidi.
12. Cik dažādos veidos var izkārtot sešus vārda TRIANGLE burtus, ja patskaņiem jāmainās ar līdzskaņiem?
    Risinājums: Ir divas iespējas: pirmais burts ir patskaņs vai pirmais burts ir līdzskaņš. Ja pirmais burts ir patskaņs, mums ir trīs izvēles iespējas, kam seko pieci līdzskaņam, divi otrajam patskaņam, četri otrajam līdzskaņam, viens pēdējam patskaņam un trīs pēdējam līdzskaņam. Mēs to reizinām, lai iegūtu 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Ar simetrijas argumentiem ir vienāds skaits izkārtojumu, kas sākas ar līdzskaņu. Tas kopā veido 720 izkārtojumus.
13. Cik daudz dažādu četru burtu komplektu var veidot no vārda TRIANGLE?
    Risinājums: Tā kā mēs runājam par a komplekts četriem burtiem no kopumā astoņiem, secība nav svarīga. Mums jāaprēķina kombinācija C(8, 4) = 70.
14. Cik daudz dažādu četru burtu komplektu var veidot no vārda TRIANGLE, kam ir divi patskaņi un divi līdzskaņi?
    Risinājums: Šeit mēs veidojam savu komplektu divos posmos. Tur ir C(3, 2) = 3 veidi, kā izvēlēties divus patskaņus no kopumā 3. Tur ir C(5, 2) = 10 veidi, kā izvēlēties līdzskaņus no pieciem pieejamajiem. Tas dod iespējamus 3x10 = 30 komplektus.
15. Cik daudz dažādu četru burtu komplektu var veidot no vārda TRIANGLE, ja mēs vēlamies vismaz vienu patskaņu?
    Risinājums: To var aprēķināt šādi:

• Komplektu skaits četriem ar vienu patskani ir C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Komplektu skaits četriem ar diviem patskaņiem ir C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Komplektu skaits četriem ar trim patskaņiem ir C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Tas dod kopumā 65 dažādus komplektus. Pārmaiņus mēs varētu aprēķināt, ka ir 70 veidi, kā izveidot četru burtu komplektu un no tā atņemt C(5, 4) = 5 veidi, kā iegūt komplektu bez patskaņiem.